因式分解方法总结

因式分解方法总结

一、定义

定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）.

因式分解与整式乘法为相反变形，同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤.

二、因式分解三原则

1．分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式）

2．最后结果只有小括号

3．最后结果中多项式首项系数为正（例如：）

三、基本方法

（一） 提公因式法

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法.

找公因式的一般步骤：

（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；

（2）取相同的字母，字母的指数取次数最低的；

（3）取相同的多项式，多项式的指数取次数最低的；

（4）所有这些因式的乘积即为公因式.

（5）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数，提出“-”号时，多项式的各项都要变号.【更多免 费素材，微信lbgzkf1】

口诀：找准公因式，一次要提尽；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶.

例如：

注意：把变成不叫提公因式.

分解因式（2003年淮安市中考题）

解：

例2、 能被整除吗？还能被那些数整除?

（二） 公式法

由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式.

1、平方差公式：

2、完全平方公式：

3、立方和公式：

4、立方差公式：

5、

6、完全立方公式：

7、

例3、 分解因式（2003年南通市中考题）

解：

例4、已知是的三边，且，则的形状是（ ）

.直角三角形 .等腰三角形 .等边三角形 .等腰直角三角形

解：

（三）分组分解法【 更多免费素材，微信lbgzkf1】

能分组分解的多项式一般有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法、三一分法.

1.分组后能直接提取公因式.

例5、分解因式 .

解： 原式=

2286000198120 = 每组之间还有公因式！

=

例6、分解因式

217170083820解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；

第三、四项为一组。 第二、三项为一组。

解：原式= 原式=

= =

= =

练习：分解因式（1） （2）

2.分组后能直接运用公式

例7、分解因式：

解： 原式===

例8、分解因式：

解：原式= ==

练习：分解因式（1） （2）

（四）十字相乘法

口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中

1. 二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——进行分解

特点： （1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和

例9、分解因式：

分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5.

3314700301625 由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5. 1 2

解： = 1 3

= 1×2+1×3=5

用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数.

例10、分解因式：

3314700163195解：原式= 1 -1

= 1 -6

（-1）+（-6）= -7

练习、分解因式(1) (2) (3)

练习、分解因式(1) (2) (3)

2. 二次项系数不为1的二次三项式——

2857500137795条件：（1）

（2）

24003003175（3）

分解结果：=

例11、分解因式：

171450048260分析： 1 -2

3 -5

（-6）+（-5）= -11

解：=

练习、分解因式（1） （2）

（3） （4）

3. 二次项系数为1的齐次多项式

例12、分解因式：

分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

1714500113665 1 8b

1 -16b

8b+(-16b)= -8b

解：=

=

练习、分解因式(1) (2) (3)

4. 二次项系数不为1的齐次多项式【 更多免费素材，微信lbgzkf1】

20574006985例9、 例10、

91440077470354330077470 1 -2y 把看作一个整体 1 -1

2 -3y 1 -2

(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3

解：原式= 解：原式=

练习、分解因式：（1） （2）

思考：分解因式：

（五）换元法

有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，整体代入，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法.注意：换元后勿忘还元.

例11、分解因式

解：令

则原式

例12、分解因式（1）

（2）

解：（1）设2005=，则原式=

=

=

（2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘.

原式=

设，则

∴原式==

==

练习、分解因式（1）

（2）

（3）

（六）拆项、添项法

这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.

例13、分解因式

解： 原式

（七）配方法

对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法.属于拆项、添项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形.

例14、分解因式

解：原式

（八）主元法

　　先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解.

例15、分解因式

解： 原式

（九）特殊值法

将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式.

例16、分解因式

解：令，则

将分解成3个质因数的积，即

注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值

则

（十）待定系数法

首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解.

例17、分解因式

解：由分析知，这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式

于是设

88392049530 所以

解得 ，，，【更多免费素 材，微信lbgzkf1】

所以

例18、分解因式

分析：原式的前3项可以分为，则原多项式必定可分为

解：设=

∵=

∴=

对比左右两边相同项的系数可得，解得

∴原式=

例19、（1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式.

（2）如果有两个因式为和，求的值.

（1）分析：前两项可以分解为，故此多项式分解的形式必为

解：设=

则=

比较对应的系数可得：，解得：或

∴当时，原多项式可以分解；

当时， 原式=；

当时，原式=

（2）分析：是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如的一次二项式。

解：设=

则=

∴ 解得，

∴=21

（十一）双十字相乘法

用于分解形如的二次六项式

具体方法：将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。则.

要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0

例20、分解因式

解：图如下，把所有的数字交叉相连即可

　　 x 2y 2

　 　x 3y　 6

　　∴原式． 【更多免费素材，微信lbgzkf1】

例21、分解因式

解：原式

（十二）长除法

不足的项要用0补，除的时候，一定要让第一项抵消

例22、分解因式

解：提示：可以使该式，有因式，如下图，所以原式