高中数学圆锥曲线方程知识总结

高中数学圆锥曲线方程知识总结

一、椭圆方程及其性质.

1. 椭圆的第一定义：

椭圆的第二定义：，点P到定点F的距离,d为点P到直线l的距离

其中F为椭圆焦点，l为椭圆准线

①椭圆的标准方程：的参数方程为（）（现在了解，后面选修4-4要详细讲）.

②通径：垂直于对称轴且过焦点的弦叫做通径，椭圆通径长为

③设椭圆：上弦B的中点为M(x0,y0),则斜率kB=,对椭圆：, 则kB=．弦长

⑸若P是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为（可用余弦定理与推导）. 若是双曲线，则面积为.

二、双曲线方程及其性质.

1. 双曲线的第一定义：

双曲线的第二定义：，点P到定点F的距离,d为点P到直线l的距离

其中F为双曲线的焦点，l为双曲线的准线

2.双曲线的简单几何性质：

标准方程

（）

（）

图 象

73152082550

83693071120

关系

范 围

顶 点

对 称 性

关于轴成轴对称、关于原点成中心对称

渐 近 线

x

离 心 率

焦 点

准 线

等轴双曲线：x2-y2＝2(≠0),它的渐近线方程为y＝±x,离心率e＝.

注：①双曲线标准方程：.

参数方程：或 . （现在了解，后面选修4-4要详细讲）

②通径：垂直于对称轴且过焦点的弦叫做通径，椭圆通径长为

③焦半径：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或上、下焦点）

“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）

构成满足

④设双曲线：上弦B的中点为M(x0,y0),则斜率kB=,对双曲线：, 则kB=．弦长

⑤常设与渐近线相同的双曲线方程为；

常设渐近线方程为的双曲线方程为

例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？

⑥从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b

⑦直线与双曲线的位置关系：

将直线方程代入双曲线方程得到一元二次方程，讨论方程二次项系数和

三、抛物线方程及其性质.

抛物线的定义：，为点P到定点F的距离,d为点P到直线l的距离

其中F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线

设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：

图形

焦点

准线

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范围

对称轴

轴

轴

顶点

（0，0）

离心率

焦半径

注：①抛物线通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.

②（或）的参数方程为（或）（为参数）. （现在了解，后面选修4-4要详细讲）

4.抛物线的焦半径、焦点弦.（抛物线中常用结论和方法）

如图所示，抛物线方程为y2＝2px(p＞0)． INCLUDEPICTURE "Z:\\upload\\dadawk\\big\\09数全三-132.TIF" \* MERGEFORMTINET

(1)焦半径

设点在准线上的射影为1，设(x1，y1)，准线方程为x＝－eq \f(p,2)，由抛物线定义|F|＝|1|＝x1＋eq \f(p,2). 抛物线上任意一条弦的弦长为

(2)关于抛物线焦点弦的几个结论

设B为过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点的弦，(x1，y1)、B(x2，y2)，B中点为，直线B的倾斜角为θ，则①x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2，时，有

②|B|＝eq \f(2p,sin2θ)＝x1＋x2＋p=，，

③以B为直径的圆与准线相切；

④焦点F对、B在准线上射影的张角为90°；

⑤eq \f(1,|F|)＋eq \f(1,|FB|)＝eq \f(2,p).

四、圆锥曲线的统一定义..

4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线的距离之比为常数的点的轨迹.

当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线；当时，轨迹为圆（，当时）.

5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证B=CD, 即证D与BC的中点重合即可.

注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

椭圆

双曲线

抛物线

定义

1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹

1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹

2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0<e<1）

2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e>1）

与定点和直线的距离相等的点的轨迹.

方

程

标准方程

(>0)

(a>0,b>0)

y2=2px

参数方程

(t为参数)

范围

─axa，─byb【更多免费素材，微信lbgzkf1】

|x| a，yR

x0

中心

原点O（0，0）

原点O（0，0）

顶点

(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)

(a,0), (─a,0)

(0,0)

对称轴

x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2b

x轴，y轴;实轴长2a, 虚轴长2b.

x轴

焦点

F1(c,0), F2(─c,0)

F1(c,0), F2(─c,0)

焦距

2c （c=）

2c （c=）

离心率

e=1

准线

x=

x=

渐近线

y=±x

焦半径

通径

2p

导数的基础知识

一．导数的定义：

2.利用定义求导数的步骤：

①求函数的增量：；②求平均变化率：；【更多免费素 材，微信lbgzkf1】

③取极限得导数：

（下面内容必记）

二、导数的运算：

（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：

①；②；；

③； ④ ⑤ ⑥；

⑦； ⑧【更多免 费素材，微信lbgzkf1】

法则1：；(口诀：和差的导数等于导数的和差).

法则2：(口诀：左导右不导+左不导右导)

法则3：

(口诀：(上导下不导-上不导下导) 下平方)

（2）复合函数的导数求法：(理科必须掌握)

①换元，令，则②分别求导再相乘③回代

题型一、导数定义的理解

题型二：导数运算

1、已知，则

2、若，则

3.=ax3+3x2+2 ，，则a=（　　　）

三．导数的物理意义

1.求瞬时速度：物体在时刻时的瞬时速度就是物体运动规律在 时的导数，即有。

2.表示即时速度。表示加速度。

四．导数的几何意义：

函数在处导数的几何意义，曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：。

题型三．用导数求曲线的切线

注意两种情况：

（1）曲线在点处切线：性质：。相应的切线方程是：

（2）曲线过点处切线(有可能点P不在曲线上)：先设切点，切点为 ,则斜率k=，切点 在曲线上，切点在切线上，切点坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=，确定切线方程。

例题在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程；

解析：（1）当x0=-1时，k有最小值3，

此时P的坐标为（-1，-14）故所求切线的方程为3x-y-11=0

五．函数的单调性：设函数在某个区间内可导，

（1）该区间内为增函数；

（2）该区间内为减函数；

注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或递减）的。

（3）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；

（4）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；

题型一、利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性：

步骤： （1）求导数 【更多 免费素材，微信lbgzkf1】

(2)判断导函数在区间上的符号

(3)下结论

①该区间内为增函数； ②该区间内为减函数；

题型二、利用导数求单调区间

求函数单调区间的步骤为：

（1）分析 的定义域； （2）求导数

（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间

（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间

题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）

思路一.（1）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；

（2）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；

思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。

注意：若函数f（x）在（a，c）上为减函数，在（c，b）上为增函数，则x=c两侧使函数（x）变号，即x=c为函数的一个极值点，所以

例题．若函数，若则( )

. a< b < c B. c < b < a C. c < a < b D. b < a < c

六、函数的极值与其导数的关系：

1.①极值的定义：设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有（或，则称为函数的一个极大（或小）值，为极大（或极小）值点。

②可导数在极值点处的导数为0（即），但函数在某点处的导数为0，并不一定函数在该处取得极值（如在处的导数为0，但没有极值）。

③求极值的步骤：

第一步：求导数；

第二步：求方程的所有实根；

第三步：列表考察在每个根附近，从左到右，导数的符号如何变化，(用表格)

若的符号左正右负，则是极大值；

若的符号左负右正，则是极小值；

若的符号不变，则不是极值，不是极值点。

2、函数的最值：

①最值的定义：若函数在定义域D内存，使得对任意的，都有，（或）则称为函数的最大（小）值，记作（或）

②如果函数在闭区间上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间上必有最大值和最小值。

③求可导函数在闭区间上的最值方法：

第一步: 求导数；

第二步：求方程的所有实根

第三步：比较在方程的根处的函数值与、的大小,最大的为最大值，最小的为最小值。

注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。

2．函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值）

3、注意：极大值不一定比极小值大。如的极大值为，极小值为2。

注意：函数在x0处有极值。但是，不能得到当x=x0时，函数有极值；

题型一、求极值与最值

题型二、导数的极值与最值的应用

题型三、导数图象与原函数图象关系

导函数 原函数 【更多免费 素材，微信lbgzkf1】

的符号 单调性

与x轴的交点且交点两侧异号 极值

的增减性 的每一点的切线斜率的变化趋势 （的图象的增减幅度）

的增 的每一点的切线斜率增大（的图象的变化幅度快）

减 的每一点的切线斜率减小 （的图象的变化幅度慢）

典型例题

例1. 已知f(x)=ex-ax-1.

（1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；

（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

解：=ex-a.（1）若a≤0，=ex-a≥0恒成立，即f(x)在R上递增.【更多免费素材 ，微信lbgzkf1】

若a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).

（2）∵f（x）在R内单调递增，∴≥0在R上恒成立.

∴ex-a≥0，即a≤ex在R上恒成立.∴a≤（ex）min，又∵ex>0，∴a≤0.

（3） 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴=0,即e0-a=0,∴a=1.

例2. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=时，y=f(x）有极值.

（1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.

解 （1）由f(x)=x3+ax2+bx+c,得=3x2+2ax+b,

当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0 ①

当x=时，y=f(x)有极值，则=0,可得4a+3b+4=0 ②

由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4.∴1+a+b+c=4.∴c=5.

（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,∴=3x2+4x-4,令=0,得x=-2,x=.

当x变化时，y ,y′的取值及变化如下表：

x

-3

(-3,-2)

-2

1

y′

+

0

-

0

+

y

8

单调递增

↗

13

单调递减

↘

单调递增

↗

4

∴y=f（x）在［-3，1］上的最大值为13，最小值为

例3.当 ，证明不等式.

证明：，，则，

当时。在内是增函数，，即，

又，当时，，在内是减函数，，即，因此，当时，不等式成立.

点评：由题意构造出两个函数，.

利用导数求函数的单调区间或求最值，从而导出是解决本题的关键.

例4 设函数在及时取得极值．

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．

解答过程：（Ⅰ），

因为函数在及取得极值，则有，．

即解得，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，

．

令,有,解得,

，， ,．

∴时,

因为对于任意的，有恒成立，所以，即

解得　或，因此的取值范围为．

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例5 设函数

（Ⅰ）若，求的单调区间；（Ⅱ）若当时，，求a的取值范围

例6已知函数的最小值为0，其中

（1）求a的值；（2）若对任意的，有成立，求实数k的最小值

例7设函数f(x)= ex-ax-2

(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k) f´(x)+x+1>0,求k的最大值