考研数学高数知识点总结
多元函数微分学的应用
多元函数微分学的应用
一、无条件极值
1、基本概念
设是二元函数的定义域，是的内点，若存在的邻域，使得对任意异于的点均有（或），则称函数在点处取得极大值（或极小值），点称为函数的极大值点（或极小值点），极大值点与极小值点统称为极值点.
2、常用公式、定理
(1）极值的必要条件：
定理：设函数在点具有偏导数，且在该点能够取到极值，则有.
(2）极值的充分条件：
定理：设函数在点的某邻域内具有连续的一阶及二阶偏导数，又设.令
（1）若，则函数在点具有极值.当时取得极小值；当时取得极大值.
（2）若，则函数在点不能取到极值.
（3）若，则函数在点可能有极值，也可能没有极值.【更多免费 素材，微信lbgzkf1】
【例1】：设可微函数在点取得极小值，则下列结论中正确的是（）.
在处的导数等于0
在处的导数大于0
在处的导数小于0
在处的导数不一定存在
答案：
【例2】：设函数的全微分为，则点
不是的连续点；不是的极值点
是的极大值点；的极小值点
答案：
【例3】：计算下列函数的极值
（1）；（2）
答案：（1）8 极大值;（2）极小值.
【例4】：求二元函数的极值.
答案：极小值.
【例5】：设函数，证明：函数有无穷多个极大值点，而无极小值点.
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