大学生寒假数学建模培训选拔竞赛

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大学生寒假数学建模培训选拔竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：河南科技大学

参赛队员 (打印并签名) ：

指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：

日期： 20xx 年xx月 xx 日

050800

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

数学建模培训选拔竞赛

编号专用页

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注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

）：

C题：供应链网络的建立与道路破坏问题

摘要

为了在竞争全球化的环境下提高整个供应链增值效益，供应链物流成本的控制成了供应链领域研究的热点问题,本文针对这种情况，从供应链整体角度出发，以供应链物流活动低成本为目标，选取物流配送中心，建立供应链网络。

问题一：首先用MATLAB处理题中所给数据，按照各个城市坐标位置和道路联系，运用Floyd算法求解任意两个城市之间的最短路问题和具体路径。我们以供应链运输成本最低为原则，建立0-1线性规划模型，利用LINGO软件求最优解，最终找到了八个供应中心的选址（4、7、11、20、23、26、28、45）以及相应的供货路线。

问题二：该问题研究破坏道路使总运输费用增加25%。根据题意建立0-1新矩阵，运用问题一的方法，通过Floyd算法求解新的最短路径矩阵，并且根据问题一求解出的供应点，编写LINGO程序分别求解出使费用增加25%时最少需要破坏六条，需破坏的道路分别为1、2、4、5、7、9，（数字代表破坏的道路序号）总费用11576688元。

问题三: 首先运用概率统计知识求解由8个供应点的基建费用和运输的平均费用之和,通过MATLAB编程计算出在破坏一定数目道路的条件下,基建费用和运输费用平均值的和的最大值，通过0-1规划和运用Floyd算法，考虑在使“破坏方”破坏道路最少而对方平均费用之和（基建费用和运输费用平均之和）最大的情况下，我们分别对1 、2、3、 4、 5、 7、 9（数字代表破坏的道路序号）进行破坏，求得该破坏方式造成的基建费用和运输费用之和的最大值为1060256元。【更多免费素材，微信lbgzkf1】

关键词：供应链 Floyd算法 MATLAB编程 LINGO 0-1整数规划

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一、问题重述

全球化竞争的加剧促使越来越多的企业开始采用供应链管理策略，以实现企业的一体化管理。供应链是一个复杂的网状结构系统，每一部分都面临着各种潜在的风险，任何一部分出现问题都可能给整个供应链带来严重的影响，因此如何分析、评价和提高供应链系统的可靠性变得日益迫切。现有某物流公司要在全国各城市之间建立供应链网络。需要选定部分城市作为供应点，将货物运输到各城市。通常每个供应点的货物是充足的，可以充分满足相应城市的需求。设该公司共考虑49个城市的网络，已知城市的坐标城市之间的道路连接关系、在每个城市建立配送中心的固定费用和需求量，并假定作为供应点的城市其供应量可以满足有需要的城市的需求。现将要建立一个供应网络，为各城市提供货物供应。设每吨每公里运输费用为0.5元。现提出如下问题：

问题一：现在要从49个城市中选取部分城市作为供给点供应本城市及其它城市。建立供给点会花费固定费用，从供应点运输到需求点会产生运输费用，要使总费用最小，问建立多少个供应点最好。给出选中作为供应点的城市，并给出每个供应点供应的城市。同时根据坐标作出每一个供应点到需求点的连接图。

问题二：假定有某组织对该供应网络的道路进行破坏。并非所有的道路都可以被破坏，可破坏的道路见表4。当某条道路被破坏后，该条道路就不能再被使用，以前运输经过该道路的只有改道，但总是沿最短路运输。如果破坏方选取的策略是使对方总费用增加25%，而每破坏一条道路都需要成本和代价，因此需要破坏最少的道路。问破坏方选取哪几条线路进行破坏。给出具体的破坏道路和总费用。

问题三：假定各道路能否被破坏具有随机性，当某条道路被破坏后，该条道路就不能再被使用，以前运输经过该道路的只有改道，但总是沿最短路运输。由于破坏方选取一些边进行破坏时，这些边不一定被破坏，而是服从一定的概率分布。设可破坏的边及各边破坏的概率见表4。运输时产生的费用可按照各种情况下的平均费用来考虑。如果破坏方选取的策略是使对方平均总费用至少增加100%，同样需要破坏最少的道路。问破坏方将选取哪几条线路进行破坏。给出具体的破坏道路和平均总费用。

二、问题分析

1、针对问题一研究的主要是从49个城市中找到适当数量的供应点及其位置来使运输费用和基建费用的总费用达到最低。其中总费用由运输费用和基建费用组成的,随着选取供应点的数量的增多,运输费用减小,但基建费用会随之增加,我们可以用0-1规划来考虑此问题。通过题中所给的数据我们运用Floyd算法求出每个城市到其他城市的最短距离，再结合相应的约束条件,运用LINGO软件进行求解,则可得出确定的供应点,使总费用达到最低。最后根据选中作为供应点的城市的坐标做出每一个供应点到需求点的连接图。

2、问题二研究破坏道路使总运输费用增加25%。根据题意建立新矩阵，使用同问题一同样的方法，并且根据问题一求解出的供应点，编写LINGO程序进行求解，则可得出需破坏的道路，使最低总费用最高。

3、首先运用概率统计知识求解由8个供应点的基建费用和运输的平均费用之和,通过MATLAB编程计算出在破坏一定数目道路的条件下,基建费用和运输费用平均值的和的最大值，通过0-1规划和运用Floyd函数，考虑在使“破坏方”破坏道路最少而对方平均费用之和（基建费用和平均运输费用之和）最大的情况下，找出破坏道路的最优方法，并计算出基建费用和平均运输费用之和的最大值。

三、模型假设

1、假设两城市之间除公路运输没有其它运输方式。

2、运输的过程中不受自然灾害的影响。

3、假设各城市之间有连接路的道路都是直线最短路。

4、假设各城市的需求量都是不变的，供货量也是充足的。

5、道路被破坏后则将两城市之间的路视为无穷大。

四、符号说明

城市到城市的最短路径。

供应中心的个数。

城市是否为城市供应货物。

城市是否建立为供应中心。

表示该道路是否被破坏。

是原各城市之间的直达距离。

破坏后建立的一个新的距离矩阵。

最短距离矩阵。

道路破坏后的最短距离矩阵。

城市建立为供应中心的费用。

所需要的总费用。

问题一中的最小费用。

问题二中的最小费用。

问题三中的最小费用。

城市的需求量。

破坏的道路条条数。

五、建模与求解

1、问题一中相关问题的建模与求解。

1.1模型的建立：总费用分为建立供应点花费的固定费用与从供应点运输到需求点产生的运输费用之和，要使总费用最小，我们需要建立有限个供应点。其中每个城市建立供应点的建设费用问题中的表三已经给出，最小运输费用需先求出第个城市到第个城市的最短距离，再乘以每吨每公里的运输费用。

从题目中给出的数据我们可以看到不是所有的城市之间都两两相通，要求任意两点之间的距离我们采用Floyd算法，以两点之间距离作为边的权，若两点之间没有道路相连，则权视为无穷大，用一个邻接矩阵记录道路之间的联系，算出一个49阶的方阵。采用Floyd算法，利用MATLAB编程（附录一）可得到最短距离矩阵，由于数据量巨大我们截出一部分20×20的数据（见表1）。

图1【更多免费素材，微信lbgzkf1】

表1

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同时已知49个城市中建立配送中心的个数是不定的，每个城市是否建立为配送中心也是不确定的，由附表三中的数据可知有21个城市建为配送中心的费用大于1000000000，所以是不能建为配送中心的，配送中心的选择只能从剩余的28个城市中选择。我们采用0-1整数规划对其定义：

0表示在此点处不建立配送中心。

表示在此点处建立配送中心。

城市是否给城市供应货物我们也用0-1整数规划进行定义其中

表示第城市不给第城市供应货物。

表示第城市给第城市供应货物。

目标函数的建立总费用为

最小费用为：

约束条件为：

1.2模型的求解：最短距离矩阵我们已经得到，由目标函数和约束条件可运用LINGO软件进行编程求解（程序见附录二）得到结果如下

图2

从图中可知所化费用最小值

=919.7万元

在LINGO显示的结果（见附表二）里（4,7，11,20,23,26,28,45），所以我们可以在第4,7,11,20,23,26,28,45这八个城市建立供应中心。

建立的各个供应点城市及其相应需求点如表二所示：

表二

建里供应点的城市

该供应点提供货物的城市

1，2,3,4，5,15,16,27,46,47

6,7，8,39,40,41,42

9,10,11,12,13,32,36,37,38,43

19,20，21,24,25,33,34,35,48,49

22,23

28，29,30,31，

14,17,18,44,45，

我们用MATLAB编程（见附录三）和CAD画图工具做出每一个供应点到需求点的连接图。其中绿色的点代表的是建供应点的城市，红色的点代表供应点供应货物的城市。

图3

2、问题二中相关问题的建模与求解。

2.1模型建立：

在问题二中，首先建立0-1矩阵。是原各城市之间的直达距离，若两点之间没有道路相连，则视为无穷大。为0时表示该道路被破坏，为1时表示未被破坏；建立一个新的距离矩阵，对可能被破坏的道路进行修改

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如果第条道路被破坏，那么，就被标记为无穷大，表示此路不通；如果第条道路未被破坏，那么，和原城市距离矩阵数值相同，即不做改变。利用矩阵，通过Floyd算法求解最短距离矩阵。

目标函数：

破坏后要求费用增加25%

共需破坏条道路

此时是否在城市建立供应点矩阵，是否供货矩阵为已知矩阵，其他约束条件参考问题一。

利用LINGO软件分别求解满足不同取值时的解，得到一些结果经处理如下：

1、当仅破坏一条公路时，即时，满足条件的为

即第八条道路被破坏，那么城市49无法供货，在该城市建立供应点费用过大，一旦该道路被破坏，只能放弃对该城市的供货。

2、若不考虑第八条路被破坏即增加约束条件，且使费用增加25%，解得

所以破坏道路为六条时，可满足条件。由于上述可知破坏后费用为11576688元，因此至少破坏六条道路，即破坏第1、2、4、5、7、9条道路。【更多免费素材，微信lbgzkf1】

2.2模型的求解

(1)该问题的关键点在于对的求解，这里我们运用LINGO软件进行编程，来对求解。由各中不同情况的条件，可以把所有的情况及其总费用求出来，再对数据进行分析对比，找到当总费用比破坏前费用增加25%时破坏的道路数最少的情况。【更多免费素材，微信lbgzkf1】

(2)根据以上分析可以求出被破坏的道路序列号以及被破坏的道路见下表：

表3

被破坏的道路序列号

城市1

城市2

被破坏的道路

4→5

4→3

11→10

20→19

45→17

20→21

我们根据算出来的被破坏的道路以及第一问中得出来的供给方案，得出来下表，表中列出了道路被破坏后，建供应点城市给相应的被供应城市的货物运输道路的变化情况以及这种变化带来的费用的增加量，如表所示

表4

受影响的供应点

道路破坏前的货物运输道路

道路破坏后的货物运输道路

增加的费用

4→3→1

4→16→3→1

406660

4→3→2

4→16→15→2

311580

4→5

4→30→5

105825

4→3→15

4→16→15

101308

4→5→47

4→30→47

65983

11→10

11→9→10

59872

11→10→12

11→9→10→12

46528

11→10→38

11→9→10→38

73575

11→10→43

11→9→10→43

90634

20→19→33

20→48→18→19→33

362149

20→19→34

20→48→18→19→34

27572

20→19→35

20→48→18→19→35

122243

20→19

20→48→18→19

406125

20→21

20→48→18→19→21

138984

20→21→49

20→48→18→19→21→49

58547

45→17

45→18→17

218442

45→17→14

45→18→14

127710

增加的总费用

2379568

据此，我们容易求得道路被破坏后，在满足题设条件下的总费用：

因此由以上我们可以得出第二问中破坏线路共有6条的城市的序列号分别为1、2、4、5、7、9。破坏线路为：4→3，4→5，11→10，20→19，20→21，45→17；总费用为11576688元。

3、问题三相关问题的建模与求解

3.1模型的建立

平均总费用由8个供应点的基建费用和运输的平均费用组成

为平均总费用，为8个供应点的基建费用，为运输的平均费用。

2、由于基建费用为固定值，所以求平均总费用的最大值实际上只需求运输的平均费用的最大值。

我们以一条道路为例（假设该道路被破坏的概率为），为道路没有被破坏的运输费用， QUOTE 为道路破坏后的运输费用，为运输费用的期望。那么，

3、由于有8条道路均可以被破坏，所以有255种道路破坏方案，每个道路破坏方案都可以产生一个平均总费用，而且，当破坏的道路数目为时有种破坏方案，根据已知条件，运用MATLAB软件建立模型，求解当破坏的道路数目为时平均运输费用的最大值。因此最后在这255种道路破坏方案中，可以变为8种情况，分别按破坏的道路的数目来区分。

每种情况都对应相应的概率，可以用MATLAB编写的矩阵，0代表不破坏该道路，1代表破坏该道路，每一行都代表种情况中的一种情况，再根据表4中的数据可以求出相应的概率，利用问题二中编写的求被破坏的道路的总费用的程序可以求出种情况下的运输费用，再利用相应的概率，求出种情况下的运输费用的平均值，再加上8个供应点的即为该破坏方案下的平均总费用。

3.2模型的求解

表5平均总费用最大值的变化趋势图

破坏道路

最高运费

9539356

10163829

10287868

10397545

10504870

10590422

10606256

图4

由图中可以看出随着破坏的道路的数量的增加，平均总费用的最大值大体上呈现出一个上升的趋势，但当破坏的道路数为7或8时，平均总费用的最大值相同，都为最大值。但如果考虑到每破坏一条道路都需要成本和代价，最优的方案为破坏七条道路即：1 、2、3、 4、 5、 7、 9（数字代表破坏的道路序号）；。

表6被破坏道路的序列号及相关道路

被破坏的道路序列号

城市1

城市2

被破坏的道路

4→5

4→3

7→40

11→10

20→19

45→17

20→21

因此求得破坏七条道路时平均总费用最大为1060256元。

六、模型评价与推广

模型的优点：

1、多次很好的运用了0-1整数规划，将各城市是否建为供应中心等问题进行处理，使模型大大简化，便于问题的求解。

2、运用Floyd算法结合MATLAB编程很好的计算出了最短距离矩阵。

3、将255种道路破坏方案转变为8种破坏情况，分别按破坏的道路的数目来进行分步处理。

模型的缺点：

未对模型及求解结果进行合理性验证。

模型的推广：

1、此模型可以运用要一般物流问题中，供应中心选址的确立以及物流网络的建立。

2、运用0-1规划中Floyd算法的模型可以解决诸多两点或者多点之间的最短路问题

七、参考文献

姜启源、谢金星、叶俊数学模型（第三版）高等教育出版社 2003。

运筹学(第3版) 吴祈宗机械工业出版社 2013

实用数学建模与软件应用肖华勇西北工业大学出版社 2008

陈桂明，戚红雨，潘伟．MATLAB数理统计[M]．北京：科学出版社 2002

附录：

一、

D=C;

for i=1:49

for j=1:49

R(i,j)=i;

end

for k=1:49

for i=1:49

for j=1:49

if D(i,k)+D(k,j)<D(i,j)

D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);

R(i,j)=R(k,j);

end

h1=0;

for i=1:49【更多免费素材，微信lbgzkf1】

if D(i,j)<0

h1=1;

break;

end

二、>> G=[0;

];

H=[0000000000000000000000000000000000000000000000000;

0000000000000000000000000000000000000000000000000;

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三、LINGO程序

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enddata

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@for(link:@bin(H));

@for(city(i):@bin(G(i)));

@for(link(i,j):@sum(link(a,j):H(a,j))>=1);

@for(link(i,j):(G(i)-H(i,j))>=0);

y=@sum(city(i):c(i)*G(i));

m=0.5*@sum(link(i,j):H(i,j)*p(j)*D(i,j));

end

运行结果：

Global optimal solution found.

Objective value: 9197118.

Objective bound: 9197118.

Infeasibilities: 0.000000

Extended solver steps: 0

Total solver iterations: 300

Model Class: MILP

Total variables: 2452

Nonlinear variables: 0【更多免费素材，微信lbgzkf1】

Integer variables: 2450【更多免费素材，微信lbgzkf1】

Total constraints: 4805

Nonlinear constraints: 0

Total nonzeros: 127255

Nonlinear nonzeros: 0

Variable Value

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