高中数学必修1知识点总结

性 质

∩ =

∩Φ=Φ

∩B=B

∩B ∩BB

U= UΦ=

UB=BU

UBＡ

UBB

(Cu)∩(CuB)= Cu(UB)

(Cu) U (CuB)= Cu(∩B)

U(Cu)=U

∩(Cu)=Φ．

课时四：函数的有关概念

函数的概念：设、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：→B为从集合到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈．

（1）其中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域；

（2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈ }叫做函数的值域．

函数的三要素：定义域、值域、对应法则

函数的表示方法：（1）解析法：明确函数的定义域

（2）图像法：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。

（3）列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。

4、函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .

(2) 画法

、描点法： B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换，旋转变换。

（3）函数图像变换的特点：

1）函数y=f(x) 关于X轴对称y=-f(x)

2）函数y=f(x) 关于Y轴对称y=f(-x)

3）函数y=f(x) 关于原点对称y=-f(-x)

课时五：函数的解析表达式，及函数定义域的求法

1、函数解析式的求法【更多免费素材，微信lbgzkf1】

（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：

1）代入法：

2）待定系数法：

3）换元法：

4)拼凑法：【更多免费素材，微信lbgzkf1】

2．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：【更 多免费素材，微信lbgzkf1】

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数式、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

3、相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)

4、区间的概念：

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间【更多免费素材，微信lbgzkf1】

（2）无穷区间

（3）区间的数轴表示

课时六：

1．值域 : 先考虑其定义域

（1）观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域；

（2）反函数表示法：针对分式的类型，把Y关于X的函数关系式化成X关于Y的函数关系式，由X的范围求Y的范围（即由反函数的定义域求原函数的值域）。

(3)配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的值域，注意定义域的范围。

(4)代换法（换元法）：作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的类型。

课时七

1.分段函数

（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

（2）各部分的自变量的取值情况．

（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

补充：复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈) 称为f、g的复合函数。

（4）常用的分段函数

1）取整函数：

2）符号函数：

3）含绝对值的函数：

2．映射

一般地，设、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：B为从集合到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：（原象）B（象）”

对于映射f：→B来说，则应满足：

(1)集合中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

(3)不要求集合B中的每一个元素在集合中都有原象。

注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的。所以函数是映射，而映射不一定是函数

课时八、函数的单调性(局部性质)及最值

1、增减函数

（1）设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.

（2）如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种

2、 图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

3、函数单调区间与单调性的判定方法

() 定义法：

eq \o\ac(○,1) 任取x1，x2∈D，且x1<x2；

eq \o\ac(○,2) 作差f(x1)－f(x2)；

eq \o\ac(○,3) 变形（通常是因式分解和配方）；

eq \o\ac(○,4) 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

eq \o\ac(○,5) 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．【更多免费素材 ，微信lbgzkf1】

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

课时九：函数的奇偶性（整体性质）

（1）、偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）、奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

（3）、具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

eq \o\ac(○,1)首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；若是不对称，则是非奇非偶的函数；若对称，则进行下面判断；

eq \o\ac(○,2)确定f(－x)与f(x)的关系；

eq \o\ac(○,3)作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；

若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

（4）利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性

1）在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；

奇函数的加减仍为奇函数；

奇数个奇函数的乘除仍为奇函数；

偶数个奇函数的乘除为偶函数；

一奇一偶的乘积是奇函数；

2）复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇。

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，

(1)再根据定义判定;

(2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定;

(3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

课时十、函数最值及性质的应用

1、函数的最值

eq \o\ac(○,1) 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

eq \o\ac(○,2) 利用图象求函数的最大（小）值

eq \o\ac(○,3) 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；【更多免费素材， 微信lbgzkf1】

2、函数的奇偶性与单调性

奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；

偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。

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3、判断函数单调性时也可以用作商法，过程与作差法类似，区别在于作差法是与0作比较，作商法是与1作比较。

4、绝对值函数求最值，先分段，再通过各段的单调性，或图像求最值。

5、在判断函数的奇偶性时候，若已知是奇函数可以直接用f(0)=0，但是f(0)=0并不一定可以判断函数为奇函数。（高一阶段可以利用奇函数f(0)=0）。

课时十一

指数与指数幂的运算：

复习初中整数指数幂的运算性质：

am*an=am+n

(am)n=amn

(a*b)n=anbn

2、根式的概念：一般地，若，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*．

当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数。此时，a的n次方根用符号 表示。

当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数。此时正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n的次方根用符号 表示。正的n次方根与负的n次方根可以合并成 （a>0）。

注意：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。

当是奇数时，，当是偶数时，

式子 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数。

分数指数幂

正数的分数指数幂

，

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

有理数指数幂的运算性质【更多免费素材，微信lbgzkf1】

（1）·；

（2）；

（3）．

5、无理数指数幂

一般的，无理数指数幂aa（a>0,a是无理数）是一个确定的实数。有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。

课时十二：指数函数的性质及其特点（1）

1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．为什么？

2、在同一坐标平面内画出下列函数的图像：

（1） （2） （3） （4） （5）

图像特征

图像特征

a>1

a>1

0<a<1

a>1

向Ｘ、Ｙ轴正负方向无限延伸

函数的定义域为R

图像关于原点和Y轴不对称

非奇非偶函数

函数图像都在X轴的上方

函数的值域为R+

函数图象都过定点（0，1）

a0=1

自左向右看图像逐渐上升。

自左向右看图像逐渐上升。

增函数

减函数

在第一象限内图像纵坐标都大于1。

在第一象限内图像纵坐标都大于1。

x>0，ax>1

x>0， 0<ax <1

在第二象限内图像纵坐标都小于1。

在第二象限内图像纵坐标都大于1。

x<0，0<ax <1

x<0，ax>1

图像上升的趋势愈来愈陡。

图像上升的趋势愈来愈陡。

函数值开始增加较慢，到了某一值后增长速度极快。

函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢。

课时十三：指数函数的性质及其特点（1）

指数函数的图象和性质

a>1

0<a<1

定义域 R

定义域 R

值域y＞0

值域y＞0

在R上单调递增

在R上单调递减

非奇非偶函数

非奇非偶函数

函数图象都过定点（0，1）

函数图象都过定点（0，1）

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：