高中数学三角函数知识总结

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两角和与差的三角函数关系

sin()=sin·coscos·sin

cos()=cos·cossin·sin

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两角和与差的三角函数关系

sin()=sin·coscos·sin

cos()=cos·cossin·sin

8、三角函数公式：

降幂公式： 升幂公式 ：

1+cos= cos2

1-cos= sin2

9．正弦定理 ：

.

余弦定理：

;

;

.

三角形面积定理..

1．直角三角形中各元素间的关系：

如图，在△BC中，C＝90°，B＝c，C＝b，BC＝a。

（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）

（2）锐角之间的关系：＋B＝90°；

（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）

sin＝cosB＝，cos＝sinB＝，tan＝。

2．斜三角形中各元素间的关系：

在△BC中，、B、C为其内角，a、b、c分别表示、B、C的对边。

（1）三角形内角和：＋B＋C＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等

。

（R为外接圆半径）

（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍

a2＝b2＋c2－2bccos；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。

3．三角形的面积公式：

（1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；

（2）△＝absinC＝bcsin＝acsinB；

4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形

解斜三角形的主要依据是：

设△BC的三边为a、b、c，对应的三个角为、B、C。

（1）角与角关系：+B+C = π；

（2）边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b；

（3）边与角关系：

正弦定理 （R为外接圆半径）；

余弦定理 c2 = a2+b2－2bccosC，b2 = a2+c2－2accosB，a2 = b2+c2－2bccos；

它们的变形形式有：a = 2R sin，，。

5．三角形中的三角变换

三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

（1）角的变换

因为在△BC中，+B+C=π，所以sin(+B)=sinC；cos(+B)=－cosC；tan(+B)=－tanC。；

四．【典例解析】

题型1：正、余弦定理

（2009岳阳一中第四次月考）.已知△中，，，，，，则（ ）

.． B ． C． D． 或

答案 C

例1．（1）在中，已知，，cm，解三角形；

（2）在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。

解析：（1）根据三角形内角和定理，

；

根据正弦定理，

；

根据正弦定理，

（2）根据正弦定理，

因为＜＜，所以，或

①当时， ，

②当时，

，

点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器

例2．（1）在BC中，已知，，，求b及；

（2）在BC中，已知，，，解三角形

解析：（1）∵

=cos

=

=

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求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

解法一：∵cos∴

解法二：∵sin

又∵＞＜∴＜，即＜＜

∴

（2）由余弦定理的推论得：

cos

；

cos

；

点评：应用余弦定理时解法二应注意确定的取值范围。

题型2：三角形面积

例3．在中，，，，求的值和的面积。

解法一：先解三角方程，求出角的值。

又,

,

。

解法二：由计算它的对偶关系式的值。

= 1 \* GB3 ①

,

= 2 \* GB3 ②

　 = 1 \* GB3 ①　+　 = 2 \* GB3 ②　得　　。

　 = 1 \* GB3 ①　－　 = 2 \* GB3 ②　得　　。

从而　。

以下解法略去。

点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？

例4．（2009湖南卷文）在锐角中，则的值等于 ，

的取值范围为 .

答案  2

解析 设由正弦定理得

由锐角得，

又，故，

例5．（2009浙江理）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足，．

（I）求的面积； （II）若，求的值．

解 （1）因为，，又由

得，

（2）对于，又，或，由余弦定理得【更多免费素材，微信lbgzkf1】

，

例6．（2009全国卷Ⅰ理）在中，内角、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b

分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.

解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得.

解法二:由余弦定理得: .又,.

所以①

又，

，即

由正弦定理得，故 ②

由①，②解得.

评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练

题型4：三角形中求值问题

例7．的三个内角为，求当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。

解析：由+B+C=π，得 eq \f(B+C,2)= eq \f(π,2) － eq \f(,2)，所以有cos eq \f(B+C,2) =sin eq \f(,2)。

cos+2cos eq \f(B+C,2) =cos+2sin eq \f(,2) =1－2sin2 eq \f(,2) + 2sin eq \f(,2)=－2(sin eq \f(,2) － eq \f(1,2))2+ eq \f(3,2)；

当sin eq \f(,2) = eq \f(1,2)，即= eq \f(π,3) 时, cos+2cos eq \f(B+C,2)取得最大值为 eq \f(3,2)。

点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。

例8．（2009浙江文）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足，．

（I）求的面积； （II）若，求的值．

解（Ⅰ）

又，，而，所以，所以的面积为：

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，而，所以

所以

点评：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力

题型5：三角形中的三角恒等变换问题

例9．在△BC中，a、b、c分别是∠、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠的大小及的值。

分析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠，需找∠与三边的关系，故可用余弦定理。由b2=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值。

解法一：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac。

又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc。

在△BC中，由余弦定理得：cos===，∴∠=60°。

在△BC中，由正弦定理得sinB=，∵b2=ac，∠=60°，

∴=sin60°=。

解法二：在△BC中，

由面积公式得bcsin=acsinB。

∵b2=ac，∠=60°，∴bcsin=b2sinB。

∴=sin=。

评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。

例10．在△BC中，已知、B、C成等差数列，求的值。

解析：因为、B、C成等差数列，又＋B＋C＝180°，所以＋C＝120°，

从而＝60°，故tan.由两角和的正切公式，

得。

所以

。

点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解，同时结合三角变换公式的逆用。

题型6：正、余弦定理判断三角形形状

例11．在△BC中，若2cosBsin＝sinC，则△BC的形状一定是（ ）

.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

答案：C

解析：2sincosB＝sin（＋B）＋sin（－B）又∵2sincosB＝sinC，

∴sin（－B）＝0，∴＝B

点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径

例12．（2009四川卷文）在中，为锐角，角所对的边分别为，且

（I）求的值；

（II）若，求的值。

解（I）∵为锐角，

∴

∵

∴

（II）由（I）知，∴ 【更多免费素材，微信lbgzkf1】

由得

，即

又∵

∴ ∴

∴

21.（2009四川卷文）在中，为锐角，角所对的边分别为，且

（I）求的值；

（II）若，求的值。

解（I）∵为锐角，

∴

∵ 【更多免费素材，微信lbgzkf1】

∴

（II）由（I）知，∴

由得

，即

又∵

∴ ∴

∴

点评：三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的函数，这些解题思维的拐点，你能否很快的想到呢？

五．【思维总结】

1．解斜三角形的常规思维方法是：

（1）已知两角和一边（如、B、C），由+B+C = π求C，由正弦定理求a、b；

（2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用+B+C = π，求另一角；

（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、），应用正弦定理求B，由+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；

（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求、B，再由+B+C = π，求角C。

2．三角形内切圆的半径：，特别地，；

3．三角学中的射影定理：在△BC 中，，…

4．两内角与其正弦值：在△BC 中，，…

5．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。