高中数学双曲线知识点总结
蒄 平面内到两个定点
莁方程
蒀简图
肈 薄_ 螂x 羈_ 袇y 薄_ 螂x 羈_ 袇y
蚃 膃_ 蚀x 蚆_ 螃y【更多 免费素材，微信lbgzkf1】 膃_ 蚀x 蚆_ 螃y
薄范围
肈顶点
虿焦点
袃渐近线
螁离心率
袀对称轴
蒈关于x轴、y轴及原点对称
袃关于x轴、y轴及原点对称
膂准线方程
薂a、b、c的关系
膇考点
羃 题型一 求双曲线的标准方程
薃1、给出渐近线方程
罿2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。
羅【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。
肃虚轴长为12，离心率为
羃焦距为26，且经过点M（0，12）；
螁与双曲线
羈解：（1）设双曲线的标准方程为
膃由题意知，2b=12，
肀∴b=6，c=10，a=8。
腿∴标准方程为
螇（2）∵双曲线经过点M（0，12），
芃∴M（0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a=12。
蒁又2c=26，∴c=13。∴
袁∴标准方程为
薆（3）设双曲线的方程为
薆
袂∴
荿所以双曲线方程为
蕿题型二 双曲线的几何性质
蚆方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e、a、b、c四者的关系，构造出
芃【例2】双曲线
肁解：直线l的方程为
莈 由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离
螆 同理得到点（-1，0）到直线l的距离
蚄
蕿由s≥
肇于是得
袆解不等式，得
袁【例3】设F1、F2分别是双曲线
芁解：∵
袆∴
羆又︱F1︱=3︱F2︱，
节∴
蚈∴
袈∴
肆题型三 直线与双曲线的位置关系
蚂方法思路：1、研究双曲线与直线的位置关系，一般通过把直线方程与双曲线方程组成方程组，即
莀 2、直线与双曲线相交所截得的弦长：
蚇 肆y 肃x 袈O 蒆B 膆 膀C 肆y 肃x 袈O 蒆B 膆 膀C
薀（1）曲线E的方程；【更多免费素材，微信lbgzkf1】
芅（2）直线B的方程；
芅（3）m的值和△BC的面积S。
薁解：由双曲线的定义可知，
肈曲线E是以
芈且
莅故直线E的方程为
羂(2)设
螀由题意建立方程组
肇又已知直线与双曲线左支交于两点、B，有
蒅
莃又∵
膈依题意得
螆∴
薅但
螄∴
羀故直线B的方程为
衿（3）设
蚅∴
羁又
蚁∴点
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薇将点C的坐标代入曲线E的方程，的
蚅得
莁∴
聿C到B的距离为
莆∴△BC的面积
螅抛物线
螂高考动向：抛物线是高考每年必考之点，选择题、填空题、解答题皆有，要求对抛物线定义、性质、直线与其关系做到了如指掌，在高考中才能做到应用自如。
螁知识归纳
膅方程
袅图形
膃顶点
艿 （0，0）
膈对称轴
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羄 x轴
芀 y轴
羁焦点
羇离心率
肄 e=1
蚁准线
羆（二）典例讲解
芃题型一 抛物线的定义及其标准方程
蚁方法思路：求抛物线标准方程要先确定形式，因开口方向不同必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为
虿【例5】根据下列条件求抛物线的标准方程。
蚈（1）抛物线的焦点是双曲线
芆（2）经过点（2，－3）；
螁（3）焦点在直线x-2y-4=0上；
肀（4）抛物线焦点在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点，︱F︱=5.
膆解：（1）双曲线方程可化为
肅由题意设抛物线方程为
袁∴p=6.
蒁∴方程为
袈（2）解法一：经过点（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：
袄y2＝2px或x2＝－2py．
羁点（2，－3）坐标代入，即9＝4p，得2p＝
薈点（2，－3）坐标代入x2＝－2py，即4＝6p，得2p＝
莅∴所求抛物线的标准方程是y2＝
薂解法二：由于（2，-3）在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为
肁∴所求抛物线的标准方程是y2＝
羈（3）令x=0得y=－2，令y=0得x=4，
肇∴直线x-2y-4=0与坐标轴的交点为（0，-2），（4，0）。
蚅∴焦点为（0，-2），（4，0）。
肁∴抛物线方程为
荿（4）设所求焦点在x轴上的抛物线方程为
蒅线定义得
莄又
膁∴
螀故所求抛物线方程为
膇题型二 抛物线的几何性质
膃方法思路：1、凡设计抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线l的距离处理，例如若P（x0，y0）为抛物线
芀2、若过焦点的弦B，
膁【例6】设P是抛物线
蚅求点P到点（-1，1）的距离与点P到直线
膆若B（3，2），求
莀解：（1）抛物线焦点为F（1，0），准线方程为
芈∵P点到准线
莇 羅y 蒀x 虿【更多免 费素材，微信lbgzkf1】 聿O 螄P 薀F 羅y 蒀x 虿 聿O 螄P 薀F
肀显然P是F的连线与抛物线的交点，
薇最小值为
蒃（2）同理
蚀过B做BQ⊥准线于Q点，交抛物线与P1点。
蒁∵
芈∴
薆∴
蚀题型三 利用函数思想求抛物线中的最值问题
蚇方法思路：函数思想、数形结合思想是解决解析几何问题的两种重要的思想方法。
螆【例7】已知抛物线y＝x2，动弦B的长为2，求B的中点纵坐标的最小值。
莄
螀 解法一：设(x1,y1),B(x2,y2),B的中点为M(x,y)
肈由抛物线方程y＝x2知焦点
蒈∴
肃∴
膄 分析二：要求B中点M的纵坐标y的最小值，可列出y关于某一变量的函数，然后求此函数的最小值。
葿 解法二：设抛物线y＝x2上点(a,a2),B(b,b2)，B的中点为M(x，y)，则
蒄 ∵|B|＝2，∴(a―b)2＋(a2―b2)＝4，则(a＋b)2－4ab＋(a2＋b2)2－4a2b2＝4
蚄则2x＝a＋b,2y＝a2＋b2,得ab＝2x2－y,∴4x2―4(2x2―y)＋4y2―4(2x2―y)＝4
螂整理得
莈即点M纵坐标的最小值为3/4。
膆练习：
蒃1、以y=±
袂 Ａ、3y2―2x2=6 Ｂ、9y2―8x2=1 C、3y2―2x2=1 D、9y2―4x2=36
蝿【答案D】解析：的渐近线为
薄 C的渐近线为
膂2、若双曲线
羁 、
羆【答案】解析：∵P在双曲线上，
芆 ∴
羁 又P（a，b）到直线y=x的距离为
羁 ∴
莇 即
螄 ∴a+b=
羄3、如果抛物线的顶点在原点、对称轴为x轴，焦点在直线
肁、
螈C、
蒆【答案C】解析：令x=0得y=－3，令y=0得x=4，
螃∴直线
膁∴焦点为（0，-3），（4，0）。
腿∴抛物线方程为
羃4、若抛物线y=
薂.（4，±4）B.（±4，4） C.（
芁【答案B】解析：抛物线的焦点是（0，1），准线是
芅 P到焦点的距离可以转化为到准线的距离。
蚅 设P（x，y），则y=4，
芀 ∴
莁5、若点的坐标为（3，2），
蚆．（0，0） B．（1，1） C．（2，2） D．
肃【答案C】解析：抛物线焦点为F（1，0），准线方程为
莃∵P点到准线
蒁∴问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到（3，2）的距离与P到F（1，0）的距离之和最小。
肇显然P是到准线的垂线与抛物线的交点，
袅∴P的坐标为（2，2）
肂6、已知、B是抛物线
薀△OB的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线B的方程是（ ）
蒈、x=p B、x=3p C、x=
芃【答案D】解析：设（
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袁 ∵F（p，0）是△OB的垂心，
薀 ∴
衿 整理得
羅 ∴
袄7、过点P（4，1），且与双曲线
蚀 【答案】两条
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羆 解析：因为P（4，1）位于双曲线的右支里面，故只有两条直线与双曲线有一个公共点，分别与双曲线的两条渐近线平行。
蚇 这两条直线是：
蚃8、双曲线C与双曲线
螀【答案】
莇 解析：设双曲线C的方程为
膅 将点代入，得k=
蒂 故双曲线C的方程为：
袀 ∴
螈 所以两条准线之间的距离是
袆9、已知抛物线
膀【答案】
羀 解析：设动弦两个端点为、B，中点为C，作’，BB’，CC’垂直于准线的垂线，垂足分别为’、 B’、 C’，连接F、BF，由抛物线定义可知，︱F︱=︱’︱，
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膈 ︱BF︱=︱BB’︱
莄 ∵CC′是梯形BB′′的中位线【更多免费素材，微信lbgzkf1】
芃 ∴︱CC′︱=
肀 当B经过点F时取等号，所以C点到y轴的距离最小值为
莅10、抛物线
肆【答案】2x-y+1=0
肂 解析：设此弦所在的直线
膀
螆 则
蒄 将
螁由韦达定理得
腿解得
膇∴此直线方程为
芆11、已知双曲线的中心在原点，焦点在
袄解：由题意知，
艿又
薈12、已知双曲线
蚄（1）求双曲线的方程；
薃（2）直线
膁解：（1）由题设，得
螁解得
膈∴双曲线的方程为
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膄（2）把直线方程
芁并整理得
袈因为直线与双曲线交于不同的两点，
蚆∴
羃设
莁则
艿设CD的中点为
莈其中
羆则
蒁依题意，P⊥CD，∴
蚀整理得
袅将②式代入①式得
螅∴m＞4或m＜0
薁又
肁∴m的取值范围为m＞4或
薇13、已知点（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线
蒃（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
薁（2）求线段BC中点M的坐标；
蒁（3）求BC所在直线的方程.（12分）
羅
薆有
焦点F的坐标为（8，0）.
（2）如图，由于F（8，0）是△BC的重心，
M是BC的中点，所以F是线段M的
定比分点，且
所以点M的坐标为（11，－4）．
（3）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在
的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为：
由
所以
∴BC所在直线的方程是
14、如图, 直线y=
（1）求点Q的坐标；
（2）当P为抛物线上位于线段B下方（含、B）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.（14分）
得
即(－4,－2),B(8,4), 从而B的中点为M(2,1).
由
y－1=-2(x－2). 令y=－5, 得x=5, ∴Q(5,－5)．
(2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x,
∵点P到直线OQ的距离
∴SΔOPQ=
∵P为抛物线上位于线段B下方的点, 且P不在直线OQ上,
∴－4≤x<4
∵函数y=x2+8x－32在区间[－4,8] 上单调递增, ∴当x=8时, ΔOPQ的面积取到最大值为30．
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