高中数学会考知识点总结

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高中数学会考知识点总结


第一章 集合与简易逻辑


集合


（1）、定义：某些指定的对象集在一起叫集合；集合中的每个对象叫集合的元素。


集合中的元素具有确定性、互异性和无序性；表示一个集合要用{ }。


（2）、集合的表示法：列举法（）、描述法（）、图示法（）；


（3）、集合的分类：有限集、无限集和空集（记作，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）；


（4）、元素a和集合之间的关系：a∈，或a；


（5）、常用数集：自然数集：N ；正整数集：N；整数集：Z ；整数：Z；有理数集：Q；实数集：R。


2、子集


（1）、定义：中的任何元素都属于B，则叫B的子集 ；记作：B，


注意：B时，有两种情况：＝φ与≠φ


（2）、性质：①、；②、若，则；③、若则=B ；


3、真子集


（1）、定义：是B的子集 ，且B中至少有一个元素不属于；记作：；


4239260167640

（2）、性质：①、；②、若，则；


补集


①、定义：记作：；


4324350156210

B

B

②、性质：；


交集与并集


（1）、交集：


4392930251460

B

B

性质：①、 ②、若，则


（2）、并集：


性质：①、 ②、若，则


6、一元二次不等式的解法：（二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系）


判别式：△=b2-4ac


80010157480

x1

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x

y

O

x1

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x

y

O


74930191770

x1=x2

x

y

O

x1=x2

x

y

O


-27940315595

x

y

O

x

y

O


二次函数



的图象




一元二次方程


的根


有两相异实数根



有两相等实数根



没有实数根


一元二次不等式


的解集



“＞”取两边



R


一元二次不等式


的解集



“＜”取中间




不等式解集的边界值是相应方程的解


含参数的不等式ax＋b x＋c>0恒成立问题含参不等式ax＋b x＋c>0的解集是R；


其解答分a＝0(验证bx＋c>0是否恒成立)、a≠0（a<0且△<0）两种情况。


第二章 函数


1、映射：按照某种对应法则f ，集合中的任何一个元素，在B中都有唯一确定的元素和它对应，


记作f：→B，若，且元素a和元素b对应，那么b叫a的象，a叫b的原象。


2、函数：（1）、定义：设，B是非空数集，若按某种确定的对应关系f，对于集合中的任意一个数x，集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，就称f：→B为集合到集合B的一个函数，记作y=f（x），


（2）、函数的三要素：定义域，值域，对应法则；自变量x的取值范围叫函数的定义域，函数值f（x）的范围叫函数的值域，定义域和值域都要用集合或区间表示；


（3）、函数的表示法常用：解析法，列表法，图象法（画图象的三个步骤：列表、描点、连线）；


（4）、区间：满足不等式的实数x的集合叫闭区间，表示为：[a ，b]


满足不等式的实数x的集合叫开区间，表示为：（a ，b）


满足不等式或的实数x的集合叫半开半闭区间，分别表示为：[a ，b）或（a ，b]；


（5）、求定义域的一般方法：①、整式：全体实数，例一次函数、二次函数的定义域为R；


②、分式：分母，0次幂：底数，例：


③、偶次根式：被开方式，例：


④、对数：真数，例：


（6）、求值域的一般方法：①、图象观察法：


②、单调函数：代入求值法：


③、二次函数：配方法：，


④、“一次”分式：反函数法：


⑤、“对称”分式：分离常数法：


⑥、换元法：


（7）、求f（x）的一般方法：


①、待定系数法：一次函数f（x），且满足，求f（x）


②、配凑法：求f（x）


③、换元法：，求f（x）


④、解方程（方程组）：定义在（-1，0）∪（0，1）的函数f（x）满足，求f（x）


3、函数的单调性：


（1）、定义：区间D上任意两个值，若时有，称为D上增函数；


若时有，称为D上减函数。（一致为增，不同为减）


（2）、区间D叫函数的单调区间，单调区间定义域；


（3）、判断单调性的一般步骤：①、设，②、作差，③、变形，④、下结论


（4）、复合函数的单调性：内外一致为增，内外不同为减；


4、反函数：函数的反函数为；函数和互为反函数；


反函数的求法：①、由，解出，②、互换，写成，③、写出的定义域（即原函数的值域）；


反函数的性质：函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域；


函数的图象和它的反函数的图象关于直线对称；


点（a，b）关于直线的对称点为（b，a）；


5、指数及其运算性质：（1）、如果一个数的n次方根等于a（），那么这个数叫a的n次方根；


叫根式，当n为奇数时，；当n为偶数时，


（2）、分数指数幂：正分数指数幂：；负分数指数幂：


0的正分数指数幂等于1，0的负分数指数幂没有意义（0的负数指数幂没有意义）；


（3）、运算性质：当时：，；


6、对数及其运算性质：（1）、定义：如果，数b叫以a为底N的对数，记作，其中a叫底数，N叫真数，以10为底叫常用对数：记为lgN，以e=2.7182828…为底叫自然对数：记为lnN


（2）、性质：①：负数和零没有对数，②、1的对数等于0：，③、底的对数等于1：，④、积的对数：， 商的对数：，


幂的对数：， 方根的对数：，


7、指数函数和对数函数的图象性质


函数


指数函数


对数函数


定义


（）


（）


770890222885

1

y

x

y=ax

O

1

y

x

y=ax

O


图象


（非奇非偶）


a>1


0<a<1


a>1


0<a<1





14605306070

1

y=ax

x

y

O

1

y=ax

x

y

O


44450342265

O

1

y=logax

x

y

O

1

y=logax

x

y


17145256540

O

1

y

x

y=logax

O

1

y

x

y=logax



性



质


定义域


（-∞，+∞）


（-∞，+∞）


（0，+∞）


（0，+∞）


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值域


（0，+∞）


（0，+∞）


（-∞，+∞）


（-∞，+∞）


单调性


在（-∞，+∞）


上是增函数


在（-∞，+∞）


上是减函数


在（0，+∞） 【更多免费素材，微信lbgzkf1】


上是增函数


在（0，+∞）


上是减函数


函数值变化






图


象


定 点


过定点（0，1）


过定点（1，0）


图象


特征


图象在x轴上方


图象在y轴右边


图象


关系


的图象与的图象关于直线对称


第三章 数列【更多 免费素材，微信lbgzkf1】


（一）、数列：（1）、定义：按一定次序排列的一列数叫数列；每个数都叫数列的项；


数列是特殊的函数：定义域：正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}），


值域：数列本身，对应法则：数列的通项公式；


（2）、通项公式：数列{}的第n项与n之间的函数关系式；例：数列1，2，…，n的通项公式= n


1，-1，1，-1，…，的通项公式= ； 0，1，0，1，0，…，的通项公式


（3）、递推公式：已知数列{}的第一项，且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系用一个公式表示，这个公式叫递推公式；例：数列{ }：，，求数列{ }的各项。


（4）、数列的前n项和：； 数列前n项和与通项的关系：


（二）、等差数列 ：（1）、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。


（2）、通项公式： （其中首项是，公差是；整理后是关于n的一次函数），


（3）、前n项和：1． 2. （整理后是关于n的没有常数项的二次函数）


（4）、等差中项：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。即：或


[说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。【更多免费素 材，微信lbgzkf1】


（5）、等差数列的判定方法：


①、定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列。


②、等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列。


（6）、等差数列的性质：


①、等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有


②、等差数列，若，则。


也就是：，如图所示：【更多免费素材，微信lbgzkf1】


③、若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列。


如下图所示：


④、设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和，


则有：前n项的和， 当n为偶数时，，其中d为公差；


当n为奇数时，则，，（其中是等差数列的中间一项）。


⑤、等差数列的前项的和为，等差数列的前项的和为，则。


（三）、等比数列：（1）、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，


那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（）。


（2）、通项公式：（其中：首项是，公比是）


（3）、前n项和] （推导方法：乘公比，错位相减）


说明：① eq \o\ac(○,2)


eq \o\ac(○,3)当时为常数列，，非0的常数列既是等差数列，也是等比数列


（4）、等比中项：


如果在与之间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项。


也就是，如果是的等比中项，那么，即（或，等比中项有两个）


（5）、等比数列的判定方法：


①、定义法：对于数列，若，则数列是等比数列。


②、等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列。


（6）、等比数列的性质：


①、等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等比数列的第项，且，


公比为，则有


②、对于等比数列，若，则


也就是：。如图所示：


③、若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列。


如下图所示：


（7）、求数列的前n项和的常用方法：分析通项，寻求解法


，，


①公式法：“差比之和”的数列：


②、并项法：


③、裂项相消法：



④、到序相加法：


⑤、错位相减法：“差比之积”的数列：


第四章 三角函数


1、角：（1）、正角、负角、零角：逆时针方向旋转正角，顺时针方向旋转负角，不做任何旋转零角；


（2）、与终边相同的角，连同角在内，都可以表示为集合{}


（3）、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限。


2、弧度制：（1）、定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。


3378835120015

P（x，y）


r

x

0

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P（x，y）


r

x

0

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（2）、度数与弧度数的换算：弧度，1弧度


（3）、弧长公式： （是角的弧度数）


扇形面积：



2743835232410

x

y

+

+

_

_

O

x

y

+

+

_

_

O

x

y

+

+

_

_

O

x

y

+

+

_

_

O

x

y

+

+

_

_

O

x

y

+

+

_

_

O

3、三角函数 （1）、定义：（如图） （2）、各象限的符号：



（3）、　特殊角的三角函数值


的角度













的弧度


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—






—



3773170260985

1

1

4、同角三角函数基本关系式


（１）平方关系：　　（２）商数关系： （３）倒数关系：


　　　　


　　　　


　　　　　　　　　　　　


（4）同角三角函数的常见变形：（活用“1”）


①、，　；，　；


②，


③，


5、诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）


公式一：



-6350082553088640-19054404360-38101567180-1905公式二： 公式三： 公式四： 公式五：


　


-5905525400补充：


6、两角和与差的正弦、余弦、正切


： ：


： ：


： ：


的整式形式为：


例：若，则．（反之不一定成立）


3337560895358、二倍角公式：（1）、：　 （2）、降次公式：（多用于研究性质）


：　



：　　


（3）、二倍角公式的常用变形：①、，　；


②、，　


③、； ；


④半角：，，


9、三角函数的图象性质


（1）、函数的周期性：①、定义：对于函数f（x），若存在一个非零常数T，当x取定义域内的每一个值时，都有：f（x+T）= f（x），那么函数f（x）叫周期函数，非零常数T叫这个函数的周期；


②、如果函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小的正数叫f（x）的最小正周期。


（2）、函数的奇偶性：①、定义：对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，


都有：f（-x）= - f（x），则称f（x）是奇函数，f（-x）= f（x），则称f（x）是偶函数


②、奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；


③、奇函数，偶函数的定义域关于原点对称；


（3）、正弦、余弦、正切函数的性质（）


函数


定义域


值域


周期性


奇偶性


递增区间


递减区间




[-1，1]



奇函数






[-1，1]



偶函数






（-∞,+∞）



奇函数



21590088900


图象的五个关键点：（0，0），（，1），（，0），（，-1），（，0）；


98425255905

0

1

-1

x

y

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0

1

-1

x

y

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图象的五个关键点：（0，1），（，0），（，-1），（，0），（，1）；



377634548260

o

x

y

o

x

y



-71120117475

0

1

-1

x

y

0

1

-1

x

y




的对称中心为（）；对称轴是直线； 的周期；


的对称中心为（）；对称轴是直线； 的周期；


的对称中心为点（）和点（）； 的周期；


(4)、函数的相关概念：


函数


定义域


值域


振幅


周期


频率


相位


初相


图象




[-，]







五点法


1525270280670

当时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍

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当时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍

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的图象与的关系：


1598930278765

当时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的倍

当时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍

当时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的倍

当时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍

①振幅变换：


1570990332105

当时，图象上的各点向左平移个单位倍

当时，图象上的各点向右平移个单位倍

当时，图象上的各点向左平移个单位倍

当时，图象上的各点向右平移个单位倍

②周期变换：


1685290360680

当时，图象上的各点向左平移个单位倍

当时，图象上的各点向右平移个单位倍

当时，图象上的各点向左平移个单位倍

当时，图象上的各点向右平移个单位倍

③相位变换：


④平移变换：


常叙述成： ①把上的所有点向左（时）或向右（时）平移||个单位得到；


②再把的所有点的横坐标缩短（）或伸长（）到原来的倍（纵坐标不变）得到；


③再把的所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍（横坐标不变）得到的图象。


先平移后伸缩的叙述方向：


先平移后伸缩的叙述方向：


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第五章、平面向量


1、空间向量：（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示。


（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作；零向量的方向是任意的。


（3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量平行的单位向量：；


（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作；规定与任何向量平行；


（5）相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等；


任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。


2、向量的运算：（1）、向量的加减法：


410464022860

指向被减数

向量的减法

指向被减数

向量的减法

18796051435

三角形法则

平行四边形法则

向量的加法

首位连结

三角形法则

平行四边形法则

向量的加法

首位连结





（2）、实数与向量的积：①、定义：实数与向量的积是一个向量，记作：；


②：它的长度：；


③：它的方向：当，与向量的方向相同；当，与向量的方向相反；当时，=；


3、平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线的向量，那么对平面内的任一向量，有且只有一对实数，使；


不共线的向量叫这个平面内所有向量的一组基向量，{ }叫基底。【更多免费素材，微信lbgzkf1】


4、平面向量的坐标运算：（１）运算性质：


（２）坐标运算：设，则


设、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则.


（3）实数与向量的积的运算律: 设，则λ，


（4）平面向量的数量积：①、 定义： ， .


①、平面向量的数量积的几何意义：向量的长度||与在的方向上的投影||的乘积；


③、坐标运算:设,则 ；


向量的模||：；模||


④、设是向量的夹角，则，


5、重要结论：（1）、两个向量平行的充要条件：


设，则


（2）、两个非零向量垂直的充要条件：


设 ，则


（3）、两点的距离：


（4）、P分线段P1P2的：设P（x，y） ，P1（x1，y1） ，P2（x2，y2） ，且 ，（即）


则定比分点坐标公式 ， 中点坐标公式


（5）、平移公式：如果点 P（x，y）按向量 平移至P′（x′，y′），则


6、解三角形：（1）三角形的面积公式：


（2）在△中：，


因为：，　，　


因为：， ，　


（3）正弦定理，余弦定理


①正弦定理：


②余弦定理：若：则：


求角：


第六章：不等式 【更多免费素材，微信lbgzkf1】


1、不等式的性质：（1）、对称性：；


（2）、传递性：；


（3）、；


4010660245745

x

y

x

y

（4）、若，若；


（5）、（没有减法、除法）


均值不等式：（1）、 INCLUDEPICTURE "http://www1.njenet.net.cn/jsjx/gzpd/xkjx/g2sx/g2sx01/pjshu/jxjy/image014.gif" \* MERGEFORMTINET （）


（2）、或 一正、二定、三相等


不满足相等条件时，注意应用函数图象性质（如图）


应用：证明（注意1的技巧），求最值，实际应用


（3）、对于n个正数：，


那么：叫做n个正数的算术平均数，叫做n个正数的几何平均数；


3、不等式的证明，常用方法：


（1）比较法：①、作差：，（作差、变形、确定符号）


②、作商：


（2）综合法：由因到果，格式：


（3）分析法：执果索因，格式：原式


（4）反证法：从结论的反面出发，导出矛盾。


4、不等式的解法：（不等式解集的边界值是相应方程的解）


一元二次不等式（的系数为正数）：时“>”取两边,“<”取中间


绝对值不等式：含一个绝对值符号的：“>”取两边,“<”取中间


含两个绝对值符号的： 零点分段讨论法（注意取“交”，还是取“并”）


3427095200025高次不等式的解法：根轴法 （重根：奇穿偶不穿）


分式不等式的解法：移项、通分、根轴法


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