数学邀请赛五年级培训知识点汇总

解：227=3．142857，循环节的长度为6．

2010÷6=335．因为循环节的第6个数字是7．所以227化为小数后的第2010位上的数字是7．

第三讲定义新运算

知识提要

学数学离不开运算，运算可以说是一种规定，一种对应．在小学数学竞赛中，常出现一些按新定义进行运算的问题．解这类题虽不需要新的数学知识．但必须仔细阅读题目，认真理解新运算的意义，严格按新规定进行运算，这样才能求得正确的结果．

什么是定义新运算呢？就是用一种特定的符号来表示特定的运算，在特殊的场合下有特殊的作用，它们与我们常用的“+、-、×、÷”这些运算有可能不相同．运算时要严格按照新运算的定义进行代换，再进行计算，具体程序如下：

1．代换：即按照定义符号的运算方式方法进行代换，注意此程序不能轻易改变原有的运算顺序．

2．计算：对代换后的算式准确地计算其结果．

典例精讲

例1、对于任意两个数a、b，定义运算“※”：a※b=2a+3b．

计算：5※6的值．

分析：根据题中的定义运算“※”知，a※b=2a+3b．要求5※6，即当a=5，b=6时a※b的值，把给出的数值代入并计算可得．

解：5※6=2x5+3x6=10+18=28．

例2、假设一种运算符号□，x□y表示把x和y加起来被4除．

(1)求13□17的值：

(2)求2□（3□5）的值，

分析：明确x□y=(x+y)÷4．

解：(1)13□17=(13+17)÷430÷4=7．5．

(2)2□(3□5)=2□[(3+5)÷4]【更多免 费素材，微信lbgzkf1】

=2□(8÷4)=2□2=(2+2)÷4=1．

例3、有一个数学运算符号“#”，使下列算式成立：3#4=2，5#3=7，3#5=1，8#2=14．求9#3=?18#24=?

分析：解这类题目的关键是弄清新运算的实质．通过给出的几个算式，你有什么新发现吗？要认真啊！

解：由已知算式可知：3#4=3x2-4=2，5#3=5x2-3=7，3#5=3x2-5=1，8#2=8x2-2=14．故我们发现A#B=2A-B．

因此：9#3=2x9-3=15，18#24=2x18-24=12．

例4、如果6△2=6+7=13，4△3=4+5+6=15，5△4=5+6+7+8=26，而6△2+4△3+5△4=(6+7)+(4+5+6)

+(5+6+7+8)=13+15+26=54．

那么，1△50+2△50+3△50+…+50△50的值是多少？

分析：由题中几例可知，a△6表示6个连续自然数的和且a是最小的一个，

解：l△50=1+2+3+4+…+48+49+50

=(1+50)x502=1275，

2△50=2+3+4+5+…+50+51

=(2+51)x502=1325，

3△50=3+4+5+…+51+52

=(3+52)x502=1375，

……

50△50=50+51+52+---+98+99

=(50+99)×502=3725．

所以1△50+2△50+3△50+…+50△50

=1275+1325+1375+…+3725

=（1275+3725）×502=125000

第四讲 数字谜

知识提要

在一个数学算式里，缺少一些数字，或用别的符号字母、文字来代替算式中的某些数字．要我们求出算式中缺少的数字或被替代的数字是什么？我们称它为数字谜．

数字谜是与数字有关的一种有趣的数学问题，一般情况下，相同的汉字、字母或符号代表相同的数字，不同的汉字、字母、符号代表不同的数字，解答这类问题一般分三步：审清题意，寻找突破口，试验解答．

（1)审清题意，分析算式中隐含的数量关系及数的性质。

（2)选择题中有特征的部分作为解题的突破口，先做一些局部推理。

（3)在确定所求的数字时，可采用试验法，为了减少试验的次数，要掌握估算的方法，对数字进行合理的估计，逐步排除一些取值的可能，缩小取值范围，尽快得到准确答案．

方法总结

个位数字分析法

加减法中的进位规律与借位

奇偶性分析法

最大值最小值的考量

典例精讲

例1、在图1的算式中，汉字“河、北、数、学、素、质、杯”代表1、2、3、4、5、6、7、8、9中的7个数字．不同的汉字代表不同的数字，使得加法算式成立．“河、北、数、学、素、质、杯”所代表的7个数字的和等于多少？

分析：(1)你对l，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字很熟悉是吗？那你了解它们吗？知道它们中任意两个数字之和的最大值和最小值吗？

(2)“2009”特殊吧！仔细研究它．

解：根据加法法则：“河”=1．“学”+“杯”9．“数”+“质”=10．“北”+“素”=9．所以“河”+“北”+“数”+“学”+“素”+“质”+“杯”=1+9+10+9=29．

例2、在图2的算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字表示相同的数字，如果巧+解+数+字+谜=30．求出“数字谜”所代表的三位数是什么？

分析：(1)“金字塔”式竖式，你找到突破口了吗？

(2)个位上的“谜”字擦亮你的眼睛了吗？它是几？

(3)沿着这个思路向下推理，“金字塔”你也能征服．

解：(1)由个位五个“谜”字的和的末位数字还是“谜”，可知谜字只可能是0或5，如果谜=0，那么字=0，与题中条件不符，所以谜=5．

(2)五个“谜”的和为25，向十位进2．又因为四个“字”的和加上2的末位数字还是“字”，所以字=6．

(3)四个“字”的和加上2等于26，向百位进2，则满足条件的“数”可能是4或9．如果数=4，向千位进1，则解=9．故解+数+字+谜=9+4+6+5=24，又因为巧+解+数+字+谜=30，所以巧=30-24=6．则“巧”和“字”相等，不符合条件．故数只能为9．向千位进2，那么解=8，巧=30-8-9-6-5=2．符合题意．

综上所述，“数字谜”所代表的三位数是965．

例3、图3的残缺算式中只知道三个“4”．那么补全后它的乘积是．

分析：为了好说话，让我们用字母表示数，如图4所示．

A中4出现在最高位，可以利用此突破，好好想想！

129921054610解：如图4，(1)由cx4a=A，A百位数为4，可知c=8或9，若c=8，则c×a必须向前进8，不可能，所以c=9．

(2)c=9时，ax9至少向前进4，即ax9≥40，知a≥5，故a=5，6，7，8，9．

(3)对a=5，6，7，8，9进行逐一验算．

若a=5，则A=405，f=4，但5xb末位数字不可能为4，排除．

若a=6，则A=414，f=3，但6xb末位数字不可能为3，排除．

若a=7，则A=423，f=2，7xb末位数字为2，则b=6，所以乘积为3243．

若a=8，则A=432，f=l，但8xb末位数字不可能为1．排除．

若a=9，则A=441，f=0，但9xb末位数字不可能为0，排除．

即残缺算式为48x69=3243．

所以补全后残缺算式的乘积是3243．

例4、已知图5的除法算式中，每个□表示一个数字，那么被除数应是．

分析：此题属于数字谜中的复杂题型．题目给出的已知数字只有两个．不能直接使用个位分析法与高位分析法．但可以结合数位考虑利用数值大小估值的方法进行分析．

解：在必要的地方填上字母，如图6所示．

376555245745135953546990(1)易知d=0，因为8xab=B，而B是两位数，所以可估算推知ab=10，11，12．

62928524384022117055842089852558420(2)又因为cxab=A，A为3位数，结合ab=10，11，12可知c=9且ab=12．将其他各数补充完整即可．

则被除数=12x9807=117684．

随堂练习

下面竖式中的汉字各代表多少?

当它们各代表什么数字时，能够使算式成立?

相同的英文字母代表相同的数字，你知道下面A、 B、 C代表几？

请你算一算，下面竖式中每个字各代表几

下面的汉字各代表几？

如图所示的算式中，不同的汉字表示不同的数字， 相同的汉字表示相同的数字。 求使算式成立的汉字所表示的数字。

在下列乘法竖式的□中填入合适的数字：

在左下式的□中填入合适的数字。

在左下式的□中填入合适的数字。

课后练习

下面竖式中的汉字各代表多少?

下面的符号代表几?

在左下式的□中填入合适的数字。

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（素质杯第9届真题）下面竖式中的“素”“质”“杯” 3 个汉字分别代表 3 个各不相同的数字，请把这个竖式写出来：

（素质杯第10届真题）在图中所示的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“努力力争”四个汉字所代表的四个数字的和是多少？

（素质杯第12届真题）在图中的算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同汉字表示相同的数字，如果巧+解+数+字+谜=30，求出“数字谜”所代表的三位数是什么？

（素质杯第13届真题）图中残缺的算式中只知道三个“4”，那么补全后它的乘积是多少？

（素质杯第14届真题）下列竖式中，相同的文字表示相同的数字，不同的文字表示不同的数字，“我们爱素质杯”表示的六位数是“ ”。

第五讲 数的整除

知识提要

在整数范围内，两个数相除，余数为零（没有余数）或不为零．两种结果必定有一种成立，如果余数为零。我们就说被除数能被除数整除，即整数a除以整数b(a≠0)，除得的商正好是整数，我们就说a能被b整除（也可以说6能整除a），记为b|a。

如果数a能被数b(b≠0)整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（或约数）．

由于0÷b=0(b≠0)，就是说零能被任何非零整数整除。因此，零是任意非零整数的倍数。

1是任意一个整数的因数，也就是说，对于整数a，都能保证1｜a成立．同样，由于a÷a=1（a≠0），也就保证一个非零整数必能整除它本身，也就是a｜a(a≠0)。

1．整除的性质

性质1：如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除。即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。

性质2：如果数a能被数b整除。b又能被数c整除，那么a也能被c整除。即如果b｜a，c｜b，那么c｜a．

性质3：如果数a能被数b与数c的积整除．那么a也能被b或c整除．即如果bc｜a，那么b｜a，c｜a．

性质4：如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除。即如果b｜a，c｜a且(b，c)=l，那么bc｜a．

性质5：如果数a能被数b整除．那么am也能被bm整除，即如果b｜a，那么bm｜am(m为非0整数)．

性质6：如果数a能被数b整除。且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除，即如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac。

2．数的整除具有如下的特征：

(1)能被2或5整除的数的特征：个位上的数字分别能被2或5整除。

(2)能被4或25整除的数的特征：末两位数能被4或25整除。

(3)能被8或125整除的数的特征：末三位数能被8或125整除。

(4)能被3或9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除。

(5)能被11整除的数的特征：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（以大减小）能被11整除。

(6)能被7、11、13整除的数的特征：末三位以前的数字所表示的数与末三位数字所表示的数的差（以大减小）能被7、11、13整除。

典例精讲

例1、按要求填空：

在1278、4632、54684、119375、37625、93648、87615、1448764中，

(1)能被9整除的数有；

(2)能被4整除的数有；

(3)能被25整除的数有；

(4)能被125整除的数有；

(5)能被7整除的数有；

(6)能被11整除的数有；

(7)能被8整除的数有．

分析：要判断上述数能被哪些数整除，可以用直接试商的方法．也可以从能被特殊数整除的数的特征入手，因能被4、25、125、8整除的数的特征简易判断，所以先判断哪些数能被4、25、125、8整除，然后判断能被9整除的数的特征，最后选择能被7和11整除的数．

解：(1)能被9整除的数有：1278、54684、87615；

(2)能被4整除的数有：4632、54684、93648、1448764：

(3)能被25整除的数有：119375、37625；

(4)能被125整除的数有：119375、37625；

(5)能被7整除的数有：54684，37625；

(6)能被11整除的数有：87615；

(7)能被8整除的数有：4632、93648。

在853后面补上3个数字组成一个六位数，使这个六位数能同时被 3，4，5整除。这样的六位数中最大的是多少？

例2、若四位数8a9a能被15整除，则a代表的数字是多少？

分析：3和5是两个互质数，如果一个数能被两个互质数中的每个数整除．那么这个数也能被这两个互质数的积整除．

解：因为15是3和5的倍数，所以8a9a既能被3整除，也能被5整除，因为能被5整除的数的个位数字是0或5．能被3整除的数的各位数字的和是3的倍数．

所以当a=0时，8+a+9+a=17，不是3的倍数，所以a≠0，

当a=5时，8+a+9+a=27，是3的倍数，所以a代表的数字是5．

一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_______或_________。

42□28□是99的倍数，这个数除以99所得的商是多少？

例3、各位数字是0、1或2，且能被225整除的最小自然数是多少？

分析：因为225=25×9．所以分别考虑能被25和9整除的数的特征．

解：因为225=25×9，所以所求的自然数一定能被25和9整除，要能被25整除，最后两位就是00．要能被9整除，所有数字的和是9的倍数，为了使得自然数位数尽可能少，只能是4个2和1个1，这样得到1222200．即满足条件的最小的自然数是1222200．

123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____。

一个能被11整除的四位数，去掉它千位数和个位上的数字，是一个能同时被2、5、3整除的最大两位数，符合要求的四位数中最小一个数是？

例4、一个41位数，444…4□555…5（20个4，20个5）能被7整除，那么中间方格内的数是几？

分析：我们可以将这个4l位数，分成三部分来考虑能否被7整除

444…4□555…5=444…400…0+44□5500…0+55…5

因为444444=4×111111；

555555=5×111111，

而111111=3×7×11×13×37．这样18个4和18个5分别组成的数也都能被7整除．

解：

原数444…4□555…5（20个4，20个5）

而44□5500…0这个数，只要判断，44□55能被7整除即可，44□55→□55-44=□11要能被7整除，判断□11中应填上5，

所以中间方格应填上“5”。

从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？

下面的连乘积中，末尾有多少个0？ 

1×2×3×…×29×30

例5、三位数1a2加326得4b8，如果4b8是3的倍数。a+b的值是。

分析：因为4b8是3的倍数，所以4+b+8=12+b是3的倍数，容易求出b的值，则4b8可知，根据题意可求出a值，则a+b的值也得知．

解：因为4b8是3的倍数，

所以4+b+8=12+b是3的倍数，b=0、3、6、9。

若b=0，则4b8=408，又1a2+326=408，a无解；

若b=3，则4b8=438，又1a2+326=438，a=1，

则a+b=1+3=4；

若b=6，则4b8=468，又1a2+326=468，a=4，

则a+b=6+4=10；

若b=9，则4b8=498，又1a2+326=498，a=7，

则a+b=9+7=16．

综上所述，a+b的值是4或10或16。

六位数3ABABA是6的倍数，这样的六位数有多少个？

例6、从2至9这8个数字中选出七个数字分别组成被12整除的最大与最小的七位数。

分析：能被12整除的数，必能被3和4整除．为了保证能被3整除，这七个数字之和应能被3整除．

又2+3+…+9=44，因此，只能去掉2或8．要保证能被4整除，必须末两位数字所组成的两位数能被4整除．

解：(1)作为最大的七位数，应该去掉2，即取3、4、5、6、7、8、9，较大的数字应居高位，最小的3和6组成36能被4整除，于是最大的七位数为9875436；

(2)作为最小的七位数应去掉较大的8，即取2、3、4、5、6、7、9，使较大的数在低位．最大的96能被4整除，于是最小的七位数是2345796。

从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。

课后练习

五位数A329B能被72整除，问A、B各代表什么数字？

某个七位数1993□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？

在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？

下面的连乘积中，末尾有多少个0

20×21×22×…×49×50

要使六位数15ABC6能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？

有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第五个数的末位数字是_____。

有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是____。

第六讲 分解质因数

知识提要

一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，再不能被其他自然数整除，那么它就叫做质数（也叫做素数）。如果除了1和它本身，还能被其他自然数整除，那么它就叫做合数。但要注意1既不是质数，也不是合数。

如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

把一个数分解质因数的方法是：用这个数的质因数逐次去除，直到除得的商是质数为止。

常用的是100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个，其中2是惟一的偶数，5是惟一的个位是5的质数。

分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征，同学们必须熟练掌握100以内及其他常用合数的分解质因数。

部分特殊数的分解：111=3×37；1001=7×11×13；11111=41×271；10001=73×137；1995=3×5×7×19；

1998=2×3×3×3×37；

2007=3×3×223；

2008=2×2×2×251；

2007+2008=4015=5×11×73；

10101=3×7×13×37。

典例精讲

例1、792共有多少个因数？

分析：如果要求一个比较小的数的因数的个数，我们只要列出它的所有因数，然后数一数就知道了。但要写出792的所有因数不是一件容易的事，如果比792更大的数就更不容易．那怎样能非常简捷地求出792的因数个数呢？

我们先将792分解质因数：792=23×32×11。

显然792的任何一个因数只能合有质因数2、3、11。对于792的某个因数a，质因数2可能不出现，也可能出现1个、2个或3个，共4种可能；同理，质因数3在a中也可能不出现，也可能出现1个或2个共3种。最后用乘法原理即可求出792共有多少个因数。

【方法一】：可以归纳出求自然数N的所有不同约数的个数的方法

一个大于1的自然数N的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加1的连乘积。

解：因为792=23×32×11，所以792的因数个数为：(3+1)×(2+1)×(1+1)=24（个）。

48与72的因数各有多少个？

2352共有多少个因数？

例2、求1×2×3×4×5×…×100的积的末尾连续有多少个零？

分析：此题如果直接计算，计算量会太大，此时可以这样分析：2×5=10，22×52=100，23×53=1000，在相乘的各个因数中．如果把它们分解质因数，有1个2和1个5相乘积的末尾就会出现一个0，2个2和2个5相乘积的末尾就会出现两个0，而1—100各数的乘积中所含质因数2的个数一定比5多，所以只要找质因数5的个数就可以确定积的末尾有多少个零。

解：100÷5=20（有20个5的倍数就合有20个质因数5），100÷25=4（因为25中含有两个质因数5。而在5的倍数中计算过一次还应再算一次）。20+4=24。

即算式1×2×3×4×…×l00的乘积末尾连续有24个零。

求20×21×22…×79×80的积的末尾连续有多少个零？

例3、将14、33、35、30、75、39、143、169这八个数平均分成两组，使这两组乘积相等，怎样分？

分析：由题意知，用分解质因数方法求解．

解：先将各数分解质因数如下：

14=2×7，33=3×11，35=5×7，30=2×3×5，75=3×5×5，39=3×13，143=11×13，169=13×13。

其中质因数3，5，13各四个，质因数2，7，11各两个．在分组时应将相同的质数分在两个组内，即每组中应有质因数3，5，13各两个；2，7，11各一个．由于其中有两个5和两个13属于同一个数，故分时应先考虑，于是得到如下两个组：

第一组75=3×5×5143=11×13 14=2×7 39=3×13

第二组169=13×13 35=5×7 33=3×11 30=2×3×5

由此可得以下两种不同的方法：

（1）75，14，143，39；35，30，169，33；

（2）75，14，169，33；35，30，143，39。

某车间有216个零件，如果平均分成若干份，分的份数在5至20之间，那么有多少种分法？

例4、把26、33、34、35、63、85、91、143分成若干组，要求每组中任意两个数的最大公因数是1，那么至少要分几组?

分析：要使每组中任意两个数的最大公因数都是“1”，就必须保证每组中的数没有相同的质因数．

解：先把这8个数分解质因数．

26=2×13，33=3×11，34=2×17，35=5×7，

63=3×3×7，85=5×17，91=7×13，143=11×13。

从中我们可以看出，每一个数都有2个不同的质因数，并且35，63，91中都有质因数7；26，91，143中都有质因数13，显然有相同质因数的3个数不能同在一组，因此至少要分3组才有可能把这两组3个数分开。

爷孙两人今年的年龄的乘积是693，4年前他们的年龄都是质数。爷孙两人今年的年龄各是多少岁？

例5、有一些长方形，它们的长和宽为互质数．而这些长方形的面积都是1992cm2，这样的长方形有多少个？

分析：因为长方形面积等于长×宽．我们应首先将1992写成两个整数之积的形式，然后再从中选出互质的几组来，这就是本题的解答．

要想找到哪两个数的乘积是1992．我们可以将之分解质因数，再从质因数中适当搭配就行了，为使分成的两数为互质数，我们应从以下的几种情况去寻找：①两个不同指数；②1与另一个自然数；③两个相邻的自然数；④不含相同因数的两个合数．

解：

将1992分解质因数是23×3×83。

为使1992分成两个互质数之积，其一应为1×1992；又2的因数不应在两因数中都具有，故还可以分为23×(3×83)，即8×249；(23×3) ×83，即24×83及(23×83)×3，即664×3。

故本题一共有4组解：lcm×1992cm，3cm×664cm，8cm×249cm，24cm×83cm。

一个长方形的面积是51平方厘米，长和宽都是大于1的自然数，这个长方形的周长是多少？

例6、4950乘以一个自然数a，乘积是某个数的平方，a最小是多少？

分析：如果4950×a的积等于某数的平方，那么积里所包含的质因数个数应该是偶数．4950=2×3×3×5×5×11，观察4950的质因数发现：质因数3，5的个数是偶数，2，11的个数是奇数．根据某数平方的特点，这个数最少应该含有两个2，3，5，11，缺少一个2，一个11，那么a最小为11×2=22．

解：因为4950=2×3×3×5×5×11。所以a的最小值为：2×11=22。

一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数，求出a的最小值是？与这个平方数。

例7、春天到了，赵老师带领本班学生上山种树，学生们恰好平均分成3组，师生共植树175棵，赵老师植树棵数与所有学生都一样多．一共有多少学生植树？（学生平均每人植树不超过20棵）

分析：由于175=平均每人植树棵数×人数．所以175分解质因数后，可以根据题意推断出人数及每人植树棵数．

175=5×5×7=25×7=5×35。根据题意，分析35×5，5只能是平均每人植树棵数，35减去1得34，34人不能平均分成3份。所以这个组合不符合题意．

再看25×7，7只能是平均每人植树棵树．25人减去1人得24，24人可以平均分成3组，符合题意，即有学生24人植树。

解：175=5×5×7=25×7=35×5．

经检验25×7，符合题意，即共有25人植树，其中学生有24人。

王老师带领一班同学去植树，学生恰好分成4组，如果王老师和同学每人植树一样多，那么他们一共植树539棵。这个班有多少学生？每人植树多少棵？

例8、某商店出售0.25元的笔记本，根本没人买，但经过降价后，立即把全部笔记本卖光了，共卖得13.91元，每个笔记本降价多少元？共卖了多少本笔记本？

分析：13.91元=1391分，而1391=13×107，所以13与107必有一个是单价．一个是本数．

解：13.91元=1391分，而1391=13×107，因为是降价，所以单价只能是13分，而本数是107本。

降价金额是：0.25-0.13=0.12元，

答：每本笔记本降价0.12元，共卖了107本笔记本。

商店进一批练习本，共700本。按每本0.5元卖出一部分后，剩下的降价出售，剩下的共卖得15.37元。问这批练习本共卖了多少元？

课后练习

有4个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们年龄的乘积是5040。问他们年龄各是多少？

求出60和360的约数各数各有多少个？

一次数学考试后，小明问老师自己得了多少分，老师说：“你的年龄与名次，得分乘积是1940，那么小明的年龄，名次，得分分别是多少？

一个整数甲与318的积正好是一个完全平方数乙，求甲最小是及乙是？

甲、乙、丙各有一些钱，甲比乙多3元，乙比丙多三元，已知三人的钱数的积是1620。问甲、乙、丙各有多少元？

李老师带领同学去种树，学生恰好平均分成三组。如果老师比每个学生多种5棵，则师生共种树511棵。问共有多少学生参加种树？

第七讲 最大公因数和最小公倍数

知识提要

一、公因数和最大公因数

1．公因数与最大公因数的概念

几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数．如：12的因数有1，2，3，4，6，12;18的因数有1，2，3，6，9，18．12和18的公因数有1，2，3，6．其中6是12和18的最大公因数，记作(12，18)=6．

2．最大公因数的性质

(1)两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质．

即若a=a1×（a，b），b=b1x(a，b)，则(a1，b1)=1．

(2)几个数的公因数，都是这几个数的最大公因数的因数．几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘以n．

3．求最大公因数的方法

(1)分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．

(2)短除法：先找所有公有的因数，然后相乘．

(3)辗转相除法：每一次都用除数和余数相除．能够整除的那个余数，就是所求的最大公因数．

例如：求600和1515的最大公因数．

第一次用600除1515，商2余315;

第二次用315除600，商1余285;

第三次用285除315，商1余30;

第四次用30除285．商9余15;

第五次用15除30．商2余0．

所以1515和600的最大公因数是15．

辗转相除法是求两个数的最大公因数的方法．如果求几个数的最大公因数，可以先求两个数的最大公因数，再求这个最大公因数与第三个数的最大公因数．这样依次下去，直到最后一个数为止．最后所得的一个最大公因数，就是所求几个数的最大公因数．

二、公倍数和最小公倍数

1．公倍数和最小公倍数

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如12的倍数有12，24，36，48，60，72，84，…；l8的倍数有18，36，54，72，90，…．12和18的公倍数有36，72，…，其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36．

2．最小公倍数的有关性质

(1)两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．

(2)两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积．

(3)两个数具有倍数关系，则它们的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．

3．求最小公倍数的方法

(1)分解质因数法．如231=3×7×11，252=22×32×7，所以[231，252]=22×32×7×11=2772。

(2)短除法求最小公倍数．

三、最大公因数和最小公倍数的关系

1．利用最大公因数求最小公倍数

由于两个数的乘积等于这两个数的最大公因数与最小公倍数的积．这就是说，求两个数的最小公倍数，可以先求出两个数的最大公因数，再用这两个数的最大公因数去除这两个数的积，所得的商就是两个数的最小公倍数．

2．两个数的最小公倍数和最大公因数的和或差也是最大公因数的整数倍．

典例精讲

例1、一个房间内部长900厘米，宽480厘米，现计划用方砖铺地，问需要边长最大为多少厘米的方砖多少块（整块），才能正好把房间地面铺满？

分析：要使铺地的方砖是整块数，那么房间的长、宽一定是方砖边长的倍数．这样方砖的边长也是长与宽的公因数．而选择的方砖边长最大，那么，方砖的边长应是长方形房间长与宽的最大公因数．

解：(480，900)=60(厘米)，

480-60=8（块），900÷60=15（块），8x15=120(块)．

答：边长最大为60厘米的方砖需要120块正好把房间铺满．

例2、某商店有每件标价0．35元．0．25元．0．15元和0．10元的四种规格的商品．甲有人民币2．70元，乙有人民币1．50元．两人要购买同一种商品，要求买的件数最少，且无剩余的钱，问应买哪一种规格的商品？

分析：将商品标价与甲、乙拥有的人民币钱数都乘100．根据题意知，甲、乙应购买的那种规格的商品标价应是270和150的公因数．

解：2．70元=270分，1．50元=150分，

因为270=2x33x5，150=2x3x52，所以270与150的公因数有1，2，3，5，6，10，15，30．

由题意可知，两入买的应是标价为0．15元的那种规格的商品．

例3、A、B两数都仅含有质因数3和5，它们的最大公因数是75，已知数A有12个因数，数B有10个因数，那么A、B两数的和等于多少？

分析：A、B的最大公因数75=3x52，出现了一次3和两次5，因为A和B的质因数只有3和5，说明这两个数的质因数分解后，一个只出现一次3，出现多于两次5；另一个只出现两次5，出现多于一次3，那么，只要确定3和5的次数，便可求出A、B．

因为一个数的因数个数是由质因数出现次数多少加1相乘而来，所以如果知道了因数的个数，也可推断出质因数出现的情况．

解：由分析知A、B中有一个数的质因数中出现了两次5，多于一次3，那么，先假设它出现了n次3，则因数有(2+1)（n+1）=3（n+1）个，

12与10中只有12是3的倍数，

所以3(n+1)=12，

解得n=3．

即A=33x52=675．

那么B的质因数出现了一次3，多于两次5，设出现了m次5．

则有：(1+1)(m+1)=2(m+1)=10，

解得m=4．

即B=3x54=1875．

所以A+B=675+1875=2550．

例4、在一根长木棍上，有3种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种刻度线把木棍分成12等份，第三种刻度线将木棍分成15等份，如果沿刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？

分析：假如把木棍长看成1个单位，那么每个等分线将表示一些分数．寻找起来就不大方便，如果把木棍看成是10、12、15的最小公倍数个单位，那么每个等分线将表示的数都是整数，而且重合位置表示的数都是等分线段长度的最小公倍数，这样一来，可利用求最小公倍数的方法计算出重合部分的个数．

解：由于[10，12，15]=60，先把木棍60等份，每一等份作为一个单位，则第一种刻度线相邻两刻度间占6个单位，第二种刻度线占5个单位，第三种刻度线占4个单位，分点共有9+11+14=34(个)．

由于[5，6]=30，

故在30单位处二种刻度重合1次．

[4，5]=20，

故在20、40单位处二种刻度重合2次，

[4，6]=12，

故在12、24、36、48单位处二种刻度重合4次．

所以共有不重合刻度34-1-2-4=27（个），从而分成28段，即木棍总共锯成28段．

例5、有一箱小人书，把它平均分给6个小朋友，多余1本；平均分给8个小朋友，也多余1本；平均分给9个小朋友，还是多余1本．这箱小人书最少有多少本？

分析：已知一箱小人书平均分给6、8、9个小朋友均多余1本，如果一箱小人书少1本的话，那么平均分给6、8或9个小朋友都正好分完，也就是说从这箱小人书中拿出1本，剩余的本数就是6、8、9的公倍数，因此要求这箱小人书最少有多少本，就是求比6、8、9的最小公倍数多1的数．

解：(1)6、8、9的最小公倍数是多少？

[6，8，9]=2x3x4x3=72(本)．

(2)这箱小人书至少有多少本？

72+1=73（本）．

答：这箱小人书至少有73本．

例6、两个自然数的和是50．它们的最大公因数是5，则这两个数的差是多少？

分析：因为两个数的最大公因数是5，所以这两个数都是5的倍数．并且它们分别被5除所得的商是互质数．

另外．用这两个数的和除以5所得的商是50÷5=10，恰好等于这两个数分别除以5所得的商之和，这样问题转化为“求互质的两个商，使它们的和是10”．

解：50÷5=10，

经检验，容易得到两组符合条件的商：9与1或7与3．

于是，所要求的两个自然数也有两组解：45与5或35与15，它们的差是45-5=40或35-15=20．

第八讲 带余数的除法

知识提要

一、带余数的除法

在整数除法运算中，除了能整除的情形外，更多的是不能整除的情形．一般地，如果a是整数，b是整数(b≠0)，那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=bq+r．

当r=0时．我们称a能被6整除．

当r≠0时，我们称a不能被b整除．r是a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称商）．用带余除式又可以表示为：a÷b=q……r(0≤r＜6)或a=bq+r．

二、带余除法的性质

1．如果两个整数a．b除以同一个自然数m(m≠0)，而余数相同，那么a和b的差能被m整除．

2．如果除数不变，同余的两个被除数，扩大相同的倍数后．仍然同余．

3．如果整数a和b除以自然数m．所得的余数相同．那么an和bn除以m所得的余数相同．

典例精讲

例1、用一个自然数去除另一个整数，商为40，余数是16，被除数、除数、商与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？

分析：被除数=除数×商+余数，可以按“从被除数中减掉余数后，被除数就是除数的40倍了”，这个思路来解，

解：因为被除数=除数X商+余数，

即被除数=除数x40+16，

由题意可知被除数+除数=933-40-16=877，

所以(除数x40+16)+除数=877，

所以除数x41=877-16，除数=861-41=21，

所以被除数=877-21=856．

例2、一盒糖果．4粒4粒的数多3粒，6粒6粒的数多5粒，15粒15粒的数多14粒，如果这盒糖果在150~200粒之间，猜一猜这盒糖果有多少粒？

分析：设糖果的数量为a，可得：

10687051220470 a÷4=□……3

a÷6=□……5观察余数发现都比除数小1．这

a÷15=□……14

样我们可以先借一粒糖果，如果有了这粒糖果，那么，

糖果的数量就是4、6、15的公倍数，然后再将这粒糖

果减去．

解：[4，6，15l=60，

因为60不在150-200之间，

所以60x3=180正好在150—200之间．

180-1=179（粒）．

答：这盒糖果有179粒．

例3、希望小学六年级和五年级去春游．每辆车可乘36人，六年级先坐满几辆车，剩下的16人与五年级坐满一辆车，五年级又坐满若干辆车．到达目的地后．每一个五年级的学生和每一个六年级的学生合影一张，每个胶卷可拍36张，全部学生照相完毕，最后一个胶卷还剩几张未拍？

分析：解答此题的关键是求出最后一个胶卷拍了几张，即以全部合影张数为被除数，36为除数，求余数．

假如将五、六年级合乘一车的学生去掉，那么其余五、六年级的学生合影正好可以用掉整数卷胶卷．这样一来我们只考虑五年级那16人与六年级那20人即可，因为每人都要与不同年级的人合影，所以这16人与20人要合影320张，所有人都拍完后的总张数除以36所得的余数与320除以36所得余数相同，为32，所以最后一个胶卷照了32张，于是有36-32=4（张），即最后一个胶卷还剩4张，

解：36-16=20(人)，16x20=320(张)．

320÷36=8（卷）……32（张），

36-32=4（张）．

答：最后一个胶卷还剩4张未拍．

例4、有一个整数，除13511，13903和14589．得到相同的余数．问这个整数最大是多少？

分析：因为在这三个除法运算中，除数相同，余数也相同，所以这三个被除数的两两之差都能被这个整数整除，即要求的整数既是“13903-13511”的因数，也是“14589-13903”的因数，这样本题转化为求“13903-13511”与“14589-13903”的最大公因数．

解：13903-13511=392=23x72，【更多免费素材，微信lbgzkf1】

14589-13903=686=2x73，

这两个差的最大公因数为2×72=98．

答：这个整数最大是98．

例5、小张在计算有余数的除法时．把被除数113错写成131，结果商比原来多3，但余数恰好相等，那么，该题的余数是多少？

分析：正确的被除数里面包含了一个商与除数的积和一个余数，由于被除数写成了131，商比原来多3，所以131里面除了包含同样的一个商与除数的积和一个余数外，还包含有3个除数，很显然3个除数对应的数就是131与113的差18，所以除数是6，进而可求出余数是5．

解：因为131-113=18．

所以除数为18-3=6．

又因为113=6x18+5．

所以该题的余数是5．

第九讲 行程问题（一)

知识提要

行程问题是研究人（或物体）运动时，路程、时间和速度三个量之间关系的一类应用题。解答这类问题，应正确理解题目中的速度、时间与路程之间的关系，行程问题的基本数量关系是：

速度×时间=路程，

路程÷时间=速度，

路程÷速度=时间．

一、简单的相遇和追及

所有的行程问题都是围绕“路程=速度×时间”这一基本关系式展开的．比如我们遇到的两大典型行程问题——相遇问题和追及问题，它们的本质也是三个量之间的关系．

路程和=速度和×相遇时间，

路程差=速度差×追及时间．

这两组关系式中“路程和”或“路程差”实际上对应的是相遇或追及问题中的原始（初始）距离，我们可以通过下面的线段图来理解：

二、多次相遇追及

这部分内容涉及以下几个方面：

①求相遇次数。

②求相遇地点。

③由相遇地点求全程。

“线段示意图”和“折线示意图”是解行程问题特别是多次相遇问题的重要方法。

三、发车间隔问题

有关汽车与行人的问题，主要涉及到这样几个量：行人速度、汽车速度、前后相邻汽车间距、汽车发车时间间隔和相遇（追及）时间间隔等。

我们首先分析一下公共汽车的发车过程：

从一辆汽车发车到下一辆汽车发车，经过一个“汽车发车时间间隔”，所以当丁一辆汽车发车的时候，前一辆汽车已经开走了“一个汽车发车时间间隔”的时间。

这个时间内前一辆汽车共行驶了“一个汽车发车时间间隔”乘以“汽车速度”。之后两辆车之间的距离保持不变，即距离保持为“相邻汽车间距”，所以我们得到关系式：

汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔。

2．与公共汽车发车过程相类似．如果行人和汽车相向行驶．那么行人遇到第一辆车到遇到第二辆车的过程可以看作一个相遇问题．

有如下数量关系：汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔．同理，如果行人和汽车同向行驶，则有关系式：

汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔。

典例精讲

乙两辆汽车同时分别从A、B两站相对开出，第一次相遇在离A站90千米处，相遇后两车继续以原速度前进，到达目的地后又立刻返回，第二次相遇在离B地50千米处，求A、B站之间的路程？

分析：画图分析数量关系：

从图中看出两次相遇，甲、乙两人共行驶了三个全程，而甲、乙两人合走一个全程时，甲行90千米，三个全程中甲一共走90×3=270千米。

而270千米正好是一个全程多50千米（即图中三段实线的全长），所以全程为270-50=220（千米）。

解：90×3-50=220（千米）．

答：A、B两地之间的路程为220千米。

甲、乙两车分别同时从A、B两地相向而行，在距B地45千米处相遇，他们各自到达对方出发地后立即返回，途中又在距A地30千米处相遇。求AB两地间距离。

A、B是一条道路的两端点，亮亮在A点，明明在B点，两人同时出发，相向而行．他们在离A点100米的C点第一次相遇．亮亮到达B点后返回A点，明明到达A点后返回B点，两人在离B点80米的D点第二次相遇。整个过程中，两人各自的速度都保持不变。求A、B间的距离，要求写出关键的推理过程。

甲、乙两车分别同时从A、B两地出发，相向而行，甲车每小时行55千米，乙车每小时行45千米，两车在距中点25千米处相遇。求A、B两地的距离。

分析：甲车比中点多走了25千米，乙车比中点少走了25千米，则甲比乙多走了25×2=50（千米）

甲每小时比乙多走55-45=10千米

则需要50÷10=5小时，甲才能比乙多走50千米，即相遇时间为5小时。

所以，全程为（45＋55）×（25×2÷5）

=100×5=500（千米）

哥哥和弟弟分别从家和学校相向而行。哥哥每分行80米，弟弟每分行60米，两人在离中点100米处相遇。问：家到学校的距离是多少米？

快、慢两车同时从两城相向出发，4小时后在离中点18千米相遇，已知快车每小时行70千米，慢车每小时行多少千米？

甲、乙、丙三个人都是大学生，甲每分钟行50米。乙每分钟行60米，丙每分钟行70米。一天甲、乙从宿舍去教室，正好丙从教室回宿舍，丙遇到乙后1分钟又遇到甲。教室与宿舍之间的路长多少米？

分析：观察下面示意图：

观察、分析图可知：甲、丙1分钟一共走的(50+70)×1=120（米），是甲、乙在相同的行走时间内乙比甲多走的，乙比甲每分种多走60-50=10（米），综合上述两个条件，可以求出乙、丙相遇时间是：120÷10=12(分钟)，进一步可以求路程(60+70) ×12=1560(米)．

解：乙、丙相遇时间：

(50+70)×1÷(60-50)=120÷10=12（分钟），

宿舍与教室之间的路程：

(60+70) ×12=130×12=1560(米)。

答：宿舍与教室之间的路长1560米。

甲、乙、丙三人步行的速度分别是每分钟30米、40米、50米，甲、乙在A地，丙在B地同时相向而行，乙丙相遇2.5分钟后甲丙相遇。求A、B两地间的路程是多少米？

有人提出这样一个问题,甲、乙两人同时相对而行,距离为100千米,甲每小时走6千米,乙每小时走4千米.总有一个时间会碰面.甲带着一只狗,每小时走10千米,狗走得比人快,同甲一起出发,碰到乙时,它往甲方向走,碰到甲它又往乙方向走.问:这只狗一共走了多少千米? 

甲骑自行车以每小时行16千米的速度从东城到西城，出发1.5小时后，乙骑摩托车从东城出发去追甲，每小时行40千米。乙几小时后能追上甲？

小明和爸爸同时出门散步，小明向东走，每分钟走60米；爸爸向西走，每分钟走80米。5分钟后，爸爸调转方向去追赶小明。爸爸追上小明时一共走了多少米？

一支队伍长350米，以每秒2米的速度前进，一个人以每秒3米的速度从队尾赶到队头，然后再返回队尾，一共要用多少分钟？

上午8时8分,小明骑自行车从家里出发。8分后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立刻回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰是8千米，这时是几时几分？【更多免费 素材，微信lbgzkf1】

甲、乙两地相距60千米。小王骑车以每小时行10千米的速度上午8点钟从甲地出发去乙地.过了一会儿,小李骑车以每小时15千米的速度也从甲地去乙地,小李在途中M地追上小王,通知小王立即返回甲地.小李继续骑车去乙地.各自分别到达甲、乙两地后都马上返回,两人再次见面时,恰好还在M地.问小李是什么时刻出发的?

某人以匀速行走在一条公路上．公路的前后两端每隔相同的时间发一辆公共汽车．他发现每隔15分钟有一辆公共汽车追上他；每隔10分钟有一辆公共汽车迎面驶来擦身而过．问公共汽车每隔多少分钟发车一辆？

分析：列出所有涉及到的数量关系，找出发车时间与公共汽车相遇追及间隔时间的关系．

解法1：设两车之间相距S，发车间隔时间为t，

根据公式得：

S=（V人+V车）×10，S=(V车-V人)×15，那么(V人+V车) ×10=(V车-V人) ×15，

解得V车=5V人．

所以发车间隔

t=SV车=V人+V车x10V车

=15V人+V车x10V车

=12（分钟）．

解法2：由于每15分钟有一辆公共汽车追上他，那么1分钟汽车追上间隔的115，即汽车与人的速度差为115；同理由于间隔10分钟有一辆公共汽车迎面驶来擦身而过，那么1分钟汽车和人共行间隔的110，即汽车与人的速度和为110，最后根据和差问题求出汽车1分钟行间隔的几分之几，（115+110）÷2=112，进而求出发车间隔时间：1÷112=12（分钟）．

解法3：反正发车时间和间隔是相等的，这样我们可以假设人先过去，这样每15分钟后有一辆车追上他，再马上回来时，正好是每10分钟有一辆和他迎面相遇，所以我们假设两地之间走要[15，10]=30分钟，这样过去的时间里有30÷15=2（辆）车追上他，同理回来的30÷10=3（辆）车和他迎面相遇，这样在这30+30=60(分钟)里，总共有2+3=5（辆）车发出，所以发车间隔时间为60÷5=12（分钟）。【更多免费素材，微信lbgzkf1】

某人沿着电车道旁的便道以每小时4.5千米的速度步行，每7.2分钟有一辆电车迎面开过，每12分钟有一辆电车从后面追过，如果电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行．问：电车的速度是多少？电车之间的时间间隔是多少？

 某人沿电车线路行走，每12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来．假设两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔．

例4、小明在7时与8时之间解了一道题．开始时分针与时针正好成一条直线，解完题时两针正好重合，求出小明解题的起始时间，小明解题共用了多少时间？

分析：要求小明解题共用了多少时间，必须先求出小明解题开始时是什么时刻．解完题时是什么时刻．

解：(1)小明开始解题时的时刻：

因为小明开始解题时，分针与时针正好成一条直线，也就是分针与时针的夹角为1800，此时分针落后时针60×(180-360)=30格，而7时整时分针落后时针5×7=35格，因此在这段时间内分针要比时针多走35-30=5格，则这一段时间为：

[5×7-60×(180÷360)]÷（1-112）

=5511（分），

所以小明开始解题时是7时511分．

(2)小明解题结束时间：【更多免费素材， 微信lbgzkf1】

因为小明解题结束时，两针正好重合，那么从7时整到这一时刻分针比时针多走Sx7=35格，因此这一段时间为：

35÷（1-112）=38211（分），

所以小明结束解题时是7时38211分．

(2)求小明解题所用的时间：

7时38211分-7时511分=32811分钟．

现在是10点，再过多长时间，时针与分针将第一次在一条直线上？

课后练习

小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地，骑自行车每小时行11千米，两人同时出发，然后在离甲、乙两地中点9千米的地方相遇。甲、乙两地间的距离是多少千米？

甲、乙两人分别同时从A、B两地相向而行，相遇时距A地120米。相遇后他们继续前进，到达目的地后立即返回，在距A地150米处再次相遇。求A、B两地之间的路程。

两辆汽车同时从A、B两站相对开出，在B侧距中点20千米处两车相遇。继续以原速前进，到达对方出发站后又立即返回，两车再在距A站160千米处第2次相遇。求A、B两站距离。

父亲、母亲、小孩三人的步行速度分别为每分钟100米、90米、75米。父亲在公路的A处，母亲、小孩在公路的B处，三人同时出发相向而行。父亲、母亲相遇3分钟后父亲与小孩相遇。求A、B之间的距离。

一支队伍长450米，以每秒3米的速度前进，一个通讯员骑车以匀速从队尾赶到队头用了50秒。如果他再返回队尾，还需要多少秒？

某部行军，队伍以每小时6千米的速度前进，排头的通信员以每小时7.5千米的平均速度跑到排尾传达命令又立即以同样速度跑回排头，此时队伍前进了0.4千米，求队伍的全长是多少千米？

 某人以匀速行走在一条公路上,公路的前后两端每隔相同的时间发一辆公共汽车.他发现每隔15分钟有一辆公共汽车追上他；每隔10分钟有一辆公共汽车迎面驶来擦身而过.问公共汽车每隔多少分钟发车一辆? 

从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲与乙两人在一条街上沿着同一方向步行。甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车。那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？【更多免费素材，微信lbgzkf1】

在9点与10点之间的什么时刻，分针与时针在一条直线上？

第十讲 行程问题（二）

知识提要

“流水行船”和“火车过桥”是行程问题另外两种类型，因此它能满足速度、时间、路程的三个量之间的关系。

同时，水速、船速、顺水速度、逆水速度还满足下列关系：

水速=顺水速度-船速；

船速=顺水速度-水速；

水速=（顺水速度-逆水速度）÷2；

静水船速=(顺水速度+逆水速度)÷2；

顺水速度=船速+水速； 【更多免费素材，微信lbgzkf1】

逆水速度=船速-水速，理解并熟练运用这些关系是解答“流水行船”问题的关键．

解答有关火车行程问题的关键是抓住火车“通过”、火车“相遇”、火车“追及”时，运动物体行驶的路程这一点，这个路程一定包括火车其本身的车长，这是火车行程问题的特殊性，下面介绍几种情况下火车过桥问题的数量关系式：

车过桥的时间=(车长+桥长)÷车速；

桥长=车速×车过桥的时间-车长：

车长=车速×车过桥的时间-桥长，

两列火车同向而行，甲车要超过乙车是超车问题．所需时间是：

（甲车身长+乙车身长）÷（甲车速－乙车速）．

两列火车相向而行，甲、乙火车从车头相遇到车尾相离是错车问题，所需要时间是：

（甲车身长+乙车身长）÷（甲车速+乙车速）。

注意：超车问题与追及问题相似，错车问题与相遇问题相似．

典例精讲

甲、乙两港相距360千米，一轮船往返两港需35小时，逆流航行比顺流航行多花了5小时，现在有一艘帆船，静水中的速度是每小时12千米，这艘帆船往返两港需多少小时？

分析：要求帆船往返两港的时间，就要先求出水速，由题意可知，轮船逆流航行与顺流航行的时间和与时间差分别是35小时和5小时．用和差问题解法可以求出逆流航行和顺流航行的时间，并能进一步求出轮船的逆流速度和顺流速度，在此基础上再用和差问题解法求出水速，

解：轮船逆流航行的时间：(35+5)÷2=20（时），

轮船顺流航行的时间：

(35-5)+2=15（时），

轮船逆流速度：

360÷20=18（千米／时），

轮船顺流速度：

360÷15=24(千米／时)，

水速：(24-18)÷2=3（千米／时），

帆船的顺流速度：

12+3=15（千米／时），

帆船的逆流速度：

12-3=9(千米／时)，

帆船往返两港所用的时间：

360÷15+360÷9=24+40=64（时）．

答：这艘帆船往返两港需要用64小时。

某船在静水中每小时行18千米，水流速度是每小时2千米。此船从甲地逆水航行到乙地需要15小时。求甲、乙两地的路程是多少千米？此船从乙地回到甲地需要多少小时？【更多免费素材，微信lbgzkf1】

甲、乙两个码头相距144千米，一艘汽艇在静水中每小时行20千米，水流速度是每小时4千米。求由甲码头到乙码头顺水而行需要几小时，由乙码头到甲码头逆水而行需要多少小时？

A、B两个码头相距180千米。甲船逆水行全程用18小时，乙船逆水行全程用15小时。甲船顺水行全程用10小时。乙船顺水行全程用几小时？

江上有甲、乙两码头，相距15千米．甲码头在乙码头的上游．一艘货船和一艘游船同时从甲码头和乙码头出发向下游行驶。5小时后货船追上游船，又行驶了1小时，货船上有一物品掉人江中（该物品可以浮在水面上），6分钟后货船上的人发现了，便掉转船头去找，找到时恰好又和游船相遇。问游船在静水中的速度为每小时多少千米？

分析：水速对于相遇和追及的时间不产生影响，对整个行程过程进行分析．找出其中隐含的数量关系。

解：首先，两艘船从相距15千米的两码头出发后5小时，其中一艘船赶上另一艘船，可得：

货船静水速度—游船静水速度=15÷5=3（千米/时），即这两艘船的静水速度差为3千米/时．

因为两艘船的速度差为3千米/时，所以l小时后两船之间的距离为3千米，又过了6分钟，货船与物品之间的距离可以表示为货船静水速度×6分钟，因此货船回去找物品所需要的时间为：货船静水速度×6分钟÷货船静水速度＝6分钟．

所以物品掉落到两艘船相遇，共过了12分钟，即0.2小时，游船静水速度×0.2小时=3千米，游船的静水速度为15千米／小时。

某河有相距120千米的上下两个码头，每天定时有甲、乙两艘同样速度的客船从上、下两个码头同时相对开出。这天，从甲船上落下一个漂浮物，此物顺水漂浮而下，5分钟后，与甲船相距2千米，预计乙船出发几小时后，可与漂浮物相遇？

一条河上有相距90千米的上、下两个码头，甲、乙两船在静水中的速度相同，分别从两地相对开出，甲船从上游出发时，抛下一物，此物浮于水面顺流漂下，一分钟后与甲船相距0.5千米，问乙船出发后几小时能与此物相遇？

快车长382米，每秒行20米，慢车长420米，每秒行18米，两车同向并行，当快车车头接慢车车尾时，快车穿过慢车还要多长时间？

分析：这题也可看成追及问题，追及路程相当于两个车身长，速度差为20-18=2（米），那么所求问题就是求追及时间。

解：(382+420)÷(20-18)=401（秒）．

答：快车穿过慢车还要401秒。

一列火车通过一条长1400米的桥梁（车头上桥直至车尾离开桥）用了55秒，火车穿越长2100米的隧道用了80秒．问这列火车的速度是多少？车长是多少？

分析：画图分析敖量关系：

对比两图发现隧道比桥长2100-1400=700（米），火车所用的时间多了80-55=25（秒），即火车25秒行驶了700米，速度为700÷25=28（米／秒），车长应为：55×28-1400=140（米）或80×28-2100=140（米）．

解：(2100-1400)-(80-55)=28（米／秒）

55×28-1400=140(米)．

答：这列火车的速度是每秒28米，车长为140米。

一个车队以4米/秒的速度缓缓通过一座长200米的大桥，共用115秒。已知每辆车长5米，两车间隔10米。问：这个车队共有多少辆车?

以同一速度行驶的一列火车，经过一根有信号灯的电线杆用了9秒，通过一座468米长的铁桥用了35秒，这列火车长多少米？

李云靠窗坐在一列时速 60千米的火车里，看到一辆有 30节车厢的货车迎面驶来，当货车车头经过窗口时，他开始计时，直到最后一节车厢驶过窗口时，所计的时间是18秒．已知货车车厢长15.8米，车厢间距1.2 米，货车车头长10米．问货车行驶的速度是多少？

快车车长米，车速是米/秒，慢车车长米，车速是米/秒。慢车在前面行驶，快车从后面追上到完全超过需要多少时间？

慢车的车身长是142米，车速是每秒17米，快车车身长是173米，车速是每秒22，慢车在前面行驶，快车从后面追上到完全超过慢车需要多少时间?

课后练习

两个码头相距352千米，一船顺流而下，行完全程需要11小时。逆流而上，行完全程需要16小时，求这条河水流速度。【更多免费素材，微信lbgzkf1】

一条大河，河中间（主航道）的水流速度是每小时8千米，沿岸边的水流速度是每小时6千米。一只船在河中间顺流而下，6.5小时行驶260千米。求这只船沿岸边返回原地需要多少小时？

小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并调过船头时，水壶与船已经相距2千米，假定小船的速度是每小时4千米，水流速度是每小时2千米，那么他们追上水壶需要多少时间？

慢车车身长米，车速米/秒；快车车身长米，车速米/秒；慢车在前面行驶，快车从后面追上到完全超过需要多长时间？

有两列火车,一列长102米,每秒行20米;一列长120米,每秒行17米.两车同向而行,从第一列车追及第二列车到两车离开需要几秒？

一列长72米的列车，追上长108米的货车到完全超过用了10秒，如果货车速度为原来的1.4倍，那么列车追上到超过货车就需要15秒。货车的速度是每秒多少米？

甲、乙二人沿铁路相向而行，速度相同，一列火车从甲身边开过用了8秒钟，离甲后5分钟又遇乙，从乙身边开过，只用了7秒钟，问从乙与火车相遇开始再过几分钟甲乙二人相遇？

第十一讲 牛吃草问题

知识提要

在著名科学家牛顿写的《算术》一书中，有一道非常有名的题目：有一片牧场，已知27头牛，6天把草吃尽；23头牛，9天把草吃尽，那么有21头牛，几天能把草吃尽？【 更多免费素材，微信lbgzkf1】

从表面来看，这好像是属于归一问题，只要先求出一头牛多少天能把草吃完就可以了，然而，我们恰恰容易忽略这样一点：牧场上的草是不断地生长着的，从而体现出它复杂有趣的一面，这种类型的问题，人们称它为牛顿问题，或牛吃草问题，也有人叫“消长”问题．

这种问题涉及三种数量：原有的草、每天新长出来的草，1头牛每天吃掉的草，一般用到下面几个数量关系式：

（1）原有草量：牛的头数×吃的天数－草的增长速度×吃的天数；

（2）吃的天数=原有草量÷（牛的头数-草的增长速度）；

（3）牛的头数：原有草量÷吃的天数+草的增长速度；

（4）草的增长速度=（牛的头数×吃的较多天数-牛的头数×吃的较少的天数）÷（吃的较多天数-吃的较少天数）．

解决牛吃草问题通常设每头牛每日吃掉的草量为单位“1”，解题关键在于通过对题中条件的分析比较，求出牧场上原有的草量，单位时间生长的草量，我们对于基本的牛吃草问题可以做如下总结，我们称之为“五步法":

第一步：求出两个总量；

第二步：总量的差÷时间差=每天长草量=安排去吃新草的牛的头数；

第三步：每天长草量×天数=总共长出来的草；

第四步：草的总量一总共长出来的草=原有的草；

第五步：原有的草÷吃原有草的牛的头数=能吃多少天．

典例精讲

我们来解决开篇提到的问题．

分析：摘录条件和问题：

27头→6天→原有草+6天生长的草；

23头→9天→原有草+9天生长的草；

21头→?天-原有草+?天生长的草．

怎样解答这类问题呢？关键是要抓住牧场青草总量的变化．设1头牛l天吃的草为“1”，由条件可知，前后两次青草的总量相差为23×9-27×6=45。

为什么青草的总量会多出45呢？这正是第二次比第一次多的那3天生长出来的，所以每天生长的青草为45÷3=15。

从另一个角度去理解，则为：这个牧场每天生长的青草正好可以满足15头牛吃1天，由此，我们可以把每次来吃草的牛分为两组：一组是抽出的15头牛来吃当天长出的青草；另一组是剩下的牛去吃原来牧场里的青草，那么．在这批牛开始吃草之前，这个牧场有多少青草呢？求原有青草的式子为：(27-15) ×6=72．

最后来求21头牛吃完整个牧场的青草天数就很容易了．

解：设l头牛l天吃的草为“1”，27头牛6天的吃草量为：27×6=162；23头牛9天的吃草量为：23×9=207．

每天的生长草量为：(207-162)÷(9-6)=15．

原有草量为：(27-15) ×6=72．

21头牛中，若有15头去吃生长的草，其他牛吃原有草，全部牧场可吃：72÷(21-15)=12(天)．【更多免费素材，微信lbgzkf1】

答：如果有牛21头，12天能把草吃尽。

牧场上长满牧草，每天匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。问供25头牛可吃几天？

现欲将一池塘水全部抽干，但同时有水匀速地流入池塘，若用8台抽水机10天可以抽完；用6台抽水机20天能抽干。问：若要5天抽干水，需多少台同样的抽水机来抽水？

画展9时开门，但早有人来排队等侯入场．从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多．如果开5个人场口，9时5分就没有人排队了；如果开3个入场口，9时9分就没有人排队了．第一个观众到达的时间是几时几分？

分析：这道题有一定的难度，难在参观画展的总人数是一个变化的量，它随着时间的增加而增加，虽然根据题中“每分钟来的观众人数一样多”．我们不难想到，只要知道“9时开门时等候入场的观众人数”和“每分钟来的观众人数”．就能算出题目所求的时间．

但是本题中观众的具体人数是无法求出的．怎么办呢？我们可以把这道题和“牛吃草问题”联系起来．题目中“每分钟来的观众”可以看做牧场上“每天长出的草”、“入场口”可以看做牛，联想“牛吃草问题”的解法，这道题就容易解答了。

解：设把每分钟从每个人场口进来的观众人数看做“1组”，那么，从开门到9时5分入场的观众为：1×5×5=25（组）。

从开门到9时9分入场的观众为：1×3×9=27（组）。

每分钟来的观众为：(27-25)÷(9-5)=0.5（组）。

9时开门等候入场的观众为：25-0.5×5=22.5（组）。

第一个观众到达时，距离9时还有：22.5÷0.5=45（分）。【更多免费素材， 微信lbgzkf1】

9时-45分=8时15分。

答：第一个观众到达的时间是8时15分。

某游乐场在开门前400人排队等候，开门后每分钟来的人数是固定的，一个入口每分钟可以进入10个游客。如果开放4个入口，20分钟就没有人排队，现在开放6个入口，那么开门后多少分钟就没有人排队？

一个水池安装有排水量相等的排水管若干根，一根入水管不断往池里放水，平均每分钟入水量相等。现在如果放开3根排水管，45分钟可把池水排完，如果开放5根排水管25分钟可把池中水排完。如果开放8根排水管，几分钟可以排完池中水？

由于天气逐渐冷起来．牧场上的草不仅不增加，反而以固定的速度减少．已知某块草地上的草可供40头牛吃10天或可供30头牛吃12天．照此计算可供多少头牛吃20天？

分析：摘录条件和问题：【更多免费素材，微信lbgzkf1】

40头牛→10天→原有草-10天减少的草。

30头牛→12天→原有草-12天减少的草。【更多 免费素材，微信lbgzkf1】

？头牛→20天→原有草-20天减少的草。

这片草地不仅没有新长出的草．而且原有的草还在减少，那么我们首先还是先求牧场上每天减少青草的量，再求原有的草量，最后求解问题．

解：设1头牛1天的吃草量为“1”．牧场每天减少青草的量为：(40×l0-30×12)÷(12-10)=20．

牧场上原有草量：40x10+20x10=600．

20天吃完需要牛的头数：(600-20×20)÷20=10（头）．

或600-20-20=10(头)．

答：可供10头牛吃20天．

由于天气渐冷，牧场上的草每天以均匀地速度减少。经计算，现在牧场上的草可供20头牛吃5天，也可供16头牛吃6天。那么，11头牛可吃几天？

一片牧场长满了每天都在匀速生长的牧草，这个牧场的草可供17头牛吃30天，或可供19头牛吃24天。现在有若干头牛在吃草，6天后，4头牛死亡，余下的牛吃了2天将草吃完。问原来有多少头牛？

有一片草地，草每小时生长的速度相同。这片草可供5头牛吃40天；或供6头牛吃30天。如果4头牛吃了30天后，又增加2头牛一起吃，这片草地还有几天草被吃完？

甲、乙、丙三辆车同时从同一地点出发，沿同一条公路追赶前面骑自行车的人．甲车每小时行54千米，乙车每小时行48千米．甲车6分钟追上骑自行车的人，乙车7分钟追上骑自行车的人．丙车14分钟追上骑自行车的人．丙车每小时行多少千米？

分析：甲车每分钟行54000÷60=900米．乙车每分钟行48000÷60=800米，由已知条件可知：甲车6分钟行的路程900×6=5400米，这5400米包含甲车与骑自行车人的距离差和骑自行车人6分钟骑的路程，乙车7分钟行的路程800×7=5600米，这5600米包含乙车与骑自行车人的距离和骑自行车人7分钟走的路程。

由于甲、乙、丙三车与骑车人的距离差相同。对比可知骑自行车人的速度．

解：甲车的速度为54千米/时=900米/分钟。

乙车的速度为48千米/时=800米/分钟，

骑自行车人每分钟行的距离：(800×7-900×6)÷(7-6)=200（米）。

距离差为：900×6-200×6=4200（米）。

丙车每分钟行的距离：(4200+200×14)÷14=500（米）．

500×60=30000（米）=30（千米）．

答：丙车每小时行30千米。

有一片草地，可供8只羊吃20天，或供14只羊吃10天。假设草每天生长速度相同，现有羊若干只，吃了4天后又增加了6只，这样又吃了2天便将草吃完。问：原有羊多少只？

一条长80安古拉（古印度长度单位）的强有力的、不可征服的、极好的黑蛇，以514天爬712安古拉的速度爬进一个洞；而蛇尾每14天长114安古拉，请你算一算，这条大蛇多少天全部进洞？

分析：黑蛇不断往洞里爬，蛇尾也不停地向后长长，要求出黑蛇身体全部爬进洞的时间，可先分别求出黑蛇向洞里爬行的速度和蛇尾生长的速度．

解：黑蛇爬行的速度为：712÷514=21．

蛇尾生长的速度为：114÷14=11．

二者的速度差为：21-11=10．

全部进洞的时间：80÷10=8（夭）．

答：这条大蛇8天全部进洞．

两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底。白天往下爬，两只蜗牛白天爬行的速度是不同的，一只每天怕20分米，另一只爬15分米。黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度是相同的。结果一只蜗牛恰好用了5个昼夜到达井底，另一只恰好用了6个昼夜。求井深。

甲、乙、丙三个仓库，各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和12个工人．5小时可将甲仓库内面粉搬完；乙仓库用一台皮带输送机和28个工人，3小时可将仓库内面粉搬完；丙仓库现有2台皮带输送机，如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要多少名工人？（每个工人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉．）

分析：这是“牛吃草”问题的一种变式．在“牛吃草”问题中，新长出的草与牛吃掉的草．两者是相减的关系，而这里皮带输送机的搬运量与工人的搬运量是相加的关系，这里虽然没有“原有的草”这一角色，但我们仍可以采用“牛吃草”的解题思路来解此题．

设1个工人1小时搬运的面粉数量为1．则：

甲仓库存放面粉数量=1台皮带输送机1小时的输送量×5+1×12×5，(1)

乙仓库存放面粉数量=1台皮带输送机1小时的输送量×3+l×28×3，(2)

因为甲、乙仓库存放的面粉数量相等，对比上面(1)，(2)式，所以有：1台皮带输送机1小时的输送量×(5-3)=1×28×3-1×12×5，这样便求出1台皮带输送机1小时的输送量是几．有了这个量便可求出甲、乙、丙三个仓库存放的面粉量，最后就能求出需要多少工人．

解：设1个工人1小时搬运的面粉量为1．

1台皮带输送机1小时的输送量是：(1×28×3-1×12×5)÷(5-3)=12．

甲、乙、丙三个仓库每一个仓库存放的面粉数量是：1×28×3-12×3=120或1×12×5-12×5=120．

2台皮带输送机工作2小时后，丙仓库中还剩下面粉的数量是：120-12×2×2=72．

2小时把丙仓库搬空，还需要工人人数为：72÷2=36（名）．

答：还要36名工人．

课后练习

有一酒槽，每日泄漏等量的酒。如果让6人饮，则4天喝完。如让4人饮，则喝5天。每天楼多少酒？

11头牛10天可吃完5公顷草地上的草。12头牛14天可吃完6公顷全部牧草。问8公顷草地可供19头牛吃多少天？

有一片草地，草每小时生长的速度相同。这片草可供5头牛吃40天；或供6头牛吃30天。如果4头牛吃了30天后，又增加2头牛一起吃，这片草地还有几天草被吃完？

一个牧场的草每天匀速地生长，每头牛每天吃草量相同。17头牛30天可将草吃完，或19头牛24天可将草吃完。现有一群牛，吃了6天后，卖掉4头牛，余下的再吃2天就可将草吃完。问：原来这群牛共有多少头？

一块草地可供9头牛吃12天，也可供8头牛吃16天。开始只有4头牛吃，从第7天起又增加若干头牛来吃草，再吃6天吃完了所有的草。问：从第7天起增加了多少头牛？

足球场检票前几分钟就有观众开始排队，每分钟来的观众人数一样多。开始检票时，若同时开4个入场口需50分钟队伍消失，若同时开6个入场口需30分钟队伍消失。如果要使队伍25分钟消失，需同时开几个入场口？

一个水池安装有排水量相等的排水管若干根，一根入水管不断往池里放水，平均每分钟入水量相等。现在如果放开3根排水管，45分钟可把池水排完，如果开放5根排水管25分钟可把池中水排完。如果开放8根排水管，几分钟可以排完池中水？

第十二讲 列方程解应用题

知识提要

列方程解应用题的方法就是以字母代替未知数，使未知数处于与已知数平等的地位直接参加运算，能够全面地反映数量关系．

解题关键是找准等量关系，列出方程．

（一）应用题的算术解法与方程解法的异同点：

共同点：【更多免费素材 ，微信lbgzkf1】

都以四则运算和常见的数量关系为基础，都需要分析题目中的数量关系，然后根据四则运算的意义列式解题．

区别：

(1)解题的思路不同，这是主要区别，在算术解法中，未知数始终作一个目标，处于特殊的地位，不参加列式运算，方程解法中把未知数用“x”表示，一开始就让未知数x与已知数处于同等地位．未知数可以直接参加列式运算．

(2)列出的式子与计算方法不同．算术解法列出的是一个算式，根据四则计算法则及四则混合运算的顺序进行运算．因此，在计算过程中可以用递等式或连等式．方程解法列出的是方程，在计算时，要根据四则运算各部分之间的关系对原方程进行变形．变形后的方程两边虽保持相等，但与原来不同的，所以计算过程中不能用递等式或连等式．

(3)得数所表示的意义不同，算术解法最后求出的得数是表示一种量，后面一般要写上单位名称．方程解法是求出方程的解（即未知数x的值），是表示一个数，所以得数后面不应写上单位名称．

（二）列方程解应用题的一般步骤是：审题→选元（未知数）→列代数式→列方程→解方程→检验→做结论．

审题：审题就是要弄清题目中的事件的已知量和未知量间的基本数量关系．

选元（未知数）：合理选择未知数是解题的关键步骤之一，一般设直接未知数，即把题目所求量设为x，特殊情况下也可设间接未知数．即把与所求量相关的某个量设作x．

列代数式：用代数式表达题目相应的数量，列代数式时应特别注意实际问题中所具有的基本关系．

列方程：根据题目所设的条件，利用等量关系布列含有未知数的等式→方程．

解方程：求未知数x．

检验：检查验证x是否是方程的解以及方程的解是否合乎实际意义．

做结论：写出正确的答语．

（三）列方程解应用题往往比算术方法解应用题简便易懂，一定要重视使用这一方法，在列方程解应用题时要注意：

1．要注意选元，可根据需要选出一个或几个未知数用字母表示．

2．根据等量关系列出方程（或方程组）．

3．解所得的方程或方程组，求出未知数的值．

4．根据题目检查求得的解是否满足方程．是否符合题中给定的实际意义，最后再写答．

典例精讲

例1、现有四个数，取其中每三个数相加，其和分别为20，22，24和27，求这四个数．

分析：(1)题中要求几个数？（4个）

(2)如何设元？若设其中一个数为x，那么另外三个数如何表示？

(3)思考一下，我们如何设元？如想不明白，和其他同学交流一下你的意见？

(4)小明说：“可以设四个数的和为x”，你认为可行吗？若可行，待求的四个数如何用x表示？请解答完此题．

解：设四个数之和为x，则这四个数分别为x-20．【更多免费素材，微信 lbgzkf1】

x-22，x-24，x-27．根据题意，得

（x-20）+（x-22）+（x-24）+（x-27）=x

4x-93=x

x=31

x-20=31-20=11，x-22=31-22=9，

x-24=31-24=7，x-27=31-27=4．

答：这四个数分别为11，9，7，4．

例2、一个两位数，个位与十位的数字之和为9，如果把这个两位数的十位上数字与个位上的数字对调，得到的新两位数比原来的两位数大9．求原来的两位数．

分析：(1)本题要求的是什么？有什么特殊的地方？

（2）你会表示两位数吗？

(3)你认为此题直接设元好呢？还是间接设？请解答出来．

解：设原来两位数的十位数字为x，个位数字为(9-x)，则原来的两位数为10x+(9-x)，对调后得到的新两位数为10(9-x)+x．根据题意，得

10(9-x)+x-9=10x+（9-x），解得x=4．

9-x=9-4=5

答：原来的两位数为45．

例3、用绳子测量井深，用绳子三折来量，井外余2．5米，如果把绳子4折来量，距井口还有1．2米，问井有多深？绳长多少？

分析：(1)在此问题中有不变的量吗？若有，是什么？

(2)此问题中设计两个操作是什么？动手做一做．

(3)若设井深为x米，绳子的长度有几种表示方法？你找到等量关系了吗？

解：设井深为x米，则三折量时，绳子的长度为3(x+2．5)米，四折量时，绳子的长度为4(x-1．2)米，而绳子的总长度不变，所以可列方程为3(x+2．5)=4(x-1．2)，解得x=12．3．

(12．3+2．5)x3=44．4(米)．

答：井深12．3米，绳子44．4米．

例4、一位妇女在河边洗碗，邻居问：“家里来了多少客人，要用这么多碗？”她回答说：“客人每两位合用一个菜碗，每三位合用一个汤碗，每四位合用一个饭碗，共有65个碗”．她家里究竟来了多少位客人？（我国古代的数学问题）．

分析：有一种分析应用题的方法叫“翻译法”，就是把日常语言翻译成数学语言，我们一起翻译此题．

若设她家里来了x位客人，完成下表：

日常语言

数学语言

来了多少位客人

X位

共用了多少个菜碗

共用了多少个汤碗

共用了多少个饭碗

共用了65个碗

请你列出方程并求解．

解：设她家里来了x位客人，则共用了 x2 个菜碗，

x3 个汤碗， x4 个饭碗，根据题意，得

x2 + x3 + x 4 = 65

6x+4x+3x=780

13x=780

x=60

答：她家里来了60位客人，

例5、水果店运来480千克梨，300千克苹果．第一天卖出的苹果比梨多60千克，剩下梨的重量是剩下苹果的3倍，一共还剩下多少千克水果？

分析：(1)本题能根据题目中的等量关系句，构造了几个等式，用文字表示出来．

(2)如何设未知数？直接设，还是间接设？

(3)芳芳说可以间接设，设第一天卖出梨x千克，你能顺着她的思路做下去吗？

解：设第一天卖出梨x千克，则卖出苹果（x+60）千克，依题意列方程，得: 480-x=[300-(x+60)]×3

480-x=900-3×(x+60)

480-x=900-3x-180

3x-x=900-180-480

2x=240

x=120

卖出苹果：x+60=120+60=180（千克），一共还剩：480+300-120-180=480(千克)．

答：一共还剩下480千克水果．

例6、雨后初晴，小方同几个小伙伴八点多钟上山采集标本，临出门时他一看钟，时针与分针恰好重合；下午两点多钟他回到家里，一进门看到了钟的时针与分针方向相反，正巧成一条直线，问小方采集标本是几点去的？几点回到家的？共用了多少小时？

分析：(1)认真观察钟面图，分针每小时转几个格？时针每小时转几个格？(2)分针和时针的转速有联系吗？(3)时针和分针重合说明转动的角度有什么关系？(4)小方回家时钟面图是什么样的？

解：(1)设分针和时针在8点x分时重合，则有 x12 =x-40，解得x=43 711 ．

(2)设分针和时针在2点y分时成一条直线，由题意可知：分针转了y个格，时针转了(y-40)个格，时针也转了 y12 个格，则y12=y-40，解得y=43 711．

即小方回家的时间是下午2点43 711分．

(3)采集标本共用时间：【更多免费素材，微信lbgzkf1】

14时43 711分一8时43 711分=6小时．

答：小方采集标本是8时43 711分去的，

下午2点43 711分回家的，共用了6小时．

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第十三讲 分数的拆分

知识提要

单位分数问题就是把一个分数写成几个分子是“1”的分数相加或相减的形式．

比较分数的大小

1. 通分比较分数大小（包括通分母与通分子） 2. 化为小数比较大小

3. 倒数法（倒数大的分数反而小） 4. 作差法——和0比较大小

5. 放缩法与标准数法（利用不等式的传递性）若，

6. 性质法：

如果为真分数，则（假分数则相反）

二、分数的拆分及其运用

1）约数法:如果将一个分数单位拆分成两个分数单位之和，也就是的表达式（、、均为非零自然数），需经过以下步骤：

分解——将分解质因数，从中找出的任意两个约数、；

扩分——把的分子、分母同时乘以，得到：；

拆分——把扩分后的分数拆成两个分数之和：；

约分——把所得的两个分数约分，得到最后结果：。

如果要将拆分成两个互异的单位分数的差，可以先找出n的两个互质的因数a和b，则有：

＝＝－

2）裂项法：，

，

，

1．主要形式：

1a = 1（ ） + 1（ ） ；1a = 1（ ） - 1（ ） ；

mn = 1（ ） + 1（ ） ；mn = 1（ ） - 1（ ） ；

1n = 1（ ） + 1（ ） +… + 1（ ） ；

mn = 1（ ） + 1（ ） +… + 1（ ） ．

2．将 1n 拆分成 1x + 1y 的方法(n是一个非0自然数）：

(1)互补因子法：如果n2=a×b（我们把a、b叫做n2的互补因子），那么 1n = 1n+a + 1n+b．

推广应用：如果要求1n = 1x + 1y 的所有整数解．我们只要找出n2的所有互补因子．填入公式 1n = 1n+a + 1n+b 即可，n2有奇数个因数．所以，全部解的个数：

n2的因数个数+12．

最常用的两个解：1n = 12n + 12n （a=b=n）和1n = 1n+1 + 1n（n+1） （a=1，b=n2）．

(2)扩分法：先找出n的任意两个因数a和b，将 1n 的分子、分母同时扩大(a+b)倍，再拆分成两个分数，最后约分即可。即

1n = a+bn（a+b） = an（a+b ） + bn（a+b ） ．

注：扩分法便于理解，但在解题过程中容易产生重复解，所以每次取的两个因数的比值不能相等．

推广应用：如果 1n 拆分成m个单位分数之和．就将 1n 的分子、分母同时乘以n的m个因数之和，再拆分，约分即可；或先将 1n 分成两个单位分数，然后把其中一个单位分数分成两个单位分数，再将分解出的单位分数分成两个单位分数……，直到满足条件为止．

3．将 1n 拆分成 1x - 1y 的方法．

找出n的任意两个因数a，b(a>b)，将 1n 的分子、分母同时扩大(a-b)倍，再拆分、约分．即

1n = a-bn（a-b） = an（a-b ） + bn（a-b ）

典例精讲

把等式112 = 1（ ） + 1（ ） 的括号里填入适当的自然数，使等式成立（填出全部结果）。

分析1：12的因数有：1，2，3，4，6，12．从这六个因数中每次取出两个，比值不相等的组合有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，6)，(1，12)，(2，3)，(3，4)．要注意的是，还有一种特殊的组合，即每一个因数，可重复自成一个组合．如(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(6，6)，(12，12)．但其结果都是一样的，因此只取其中一个组合即可，这样．可知该题有8种不同的填法．

解法1：(1) 112 = 1+212×（1+2） = 112×3 + 212×3 = 136 + 118 ；

(2) 112 = 1+312×（1+3） = 112×4 + 212×4 = 148 + 116 ；

(3) 112 = 1+412×（1+4） = 112×5 + 412×5 = 160 + 115 ；

(4) 112 = 1+612×（1+6） = 112×7 + 612×7 = 184 + 114 ；

(5) 112 = 1+1212×（1+12） = 112×13 + 1212×13 = 1156 + 113 ；

(6) 112 = 2+312×（2+3） = 212×5 + 312×5 = 130 + 120 ；

(7) 112 = 3+412×（3+4） = 312×7 + 412×7 = 128 + 121 ；

(8) 112 = 1+112×（1+1） = 112×2 + 112×2 = 124 + 124 ．

分析2：设112 = 1x + 1y ，则112 = 1x + 1y 的所有解可表示成112 = 112+t + 112+t' ，这里t和t'是122=144的互补因子．

解法2：因为122=144，按照互补或自补因子配对有：(1，144)，(2，72)，(3，48)，(4，36)，(6，24)，(8，18)，(9，16)，(12，12).

所以全部结果是：

(1) 112 = 112+1 + 112+144 = 113 + 1156 ；

(2) 112 = 112+2 + 112+72 = 114 + 184；

(3) 112 = 112+3 + 112+48 = 115 + 160 ；

(4) 112 = 112+4 + 112+36 = 116 + 148 ；