数列解题技巧归纳总结

数列解题技巧归纳总结

等差数列前项和的最值问题：

1、若等差数列的首项，公差，则前项和有最大值。

（ⅰ）若已知通项，则最大；

（ⅱ）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最大；

2、若等差数列的首项，公差，则前项和有最小值

（ⅰ）若已知通项，则最小；

（ⅱ）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最小；

数列通项的求法：

⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

⑵已知（即）求，用作差法：。

已知求，用作商法：。

⑶已知条件中既有还有，有时先求，再求；有时也可直接求。

⑷若求用累加法：

。

⑸已知求，用累乘法：。

⑹已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。

特别地，（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求；形如的递推数列都可以除以得到一个等差数列后，再求。

（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。

（3）形如的递推数列都可以用对数法求通项。

（7）（理科）数学归纳法。

（8）当遇到时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段

一、典型题的技巧解法

1、求通项公式

（1）观察法。（2）由递推公式求通项。

对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。

(1)递推式为an+1=an+d及an+1=qan（d，q为常数）

例1、  已知{an}满足an+1=an+2，而且a1=1。求an。【更多免费素 材，微信lbgzkf1】

例1、解  ∵an+1-an=2为常数 ∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列

∴an=1+2（n-1） 即an=2n-1

457200297180例2、已知满足，而，求=？

（2）递推式为an+1=an+f（n）

例3、已知中，，求.

解： 由已知可知

令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）

22860099060

说明  只要和f（1）+f（2）+…+f（n-1）是可求的，就可以由an+1=an+f（n）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求an。

(3)递推式为an+1=pan+q（p，q为常数）

例4、中，，对于n＞1（n∈N）有，求.

解法一： 由已知递推式得an+1=3an+2，an=3an-1+2。两式相减：an+1-an=3（an-an-1）

因此数列{an+1-an}是公比为3的等比数列，其首项为a2-a1=（3×1+2）-1=4

∴an+1-an=4·3n-1 ∵an+1=3an+2  ∴3an+2-an=4·3n-1 即 an=2·3n-1-1

解法二： 上法得{an+1-an}是公比为3的等比数列，于是有：a2-a1=4，a3-a2=4·3，a4-a3=4·32，…，an-an-1=4·3n-2，

160020099060

把n-1个等式累加得： ∴an=2·3n-1-1

(4)递推式为an+1=p an+q n（p，q为常数）

457200-57150

由上题的解法，得： ∴

(5)递推式为

思路：设,可以变形为：，

想

于是{an+1-αan}是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型。

求。

5715000

4572000

4572000

(6)递推式为Sn与an的关系式

0495300

关系；（2）试用n表示an。

45720099060

∴

∴ ∴

上式两边同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2则{2nan}是公差为2的等差数列。

33147000∴2nan= 2+（n-1）·2=2n

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2．数列求和问题的方法

（1）、应用公式法

等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。

1＋3＋5＋……＋(2n-1)=n2

【例8】 求数列1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），…前n项的和。

解  本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有1+2+…+n=个奇数，

∴最后一个奇数为：1+[n(n+1)-1]×2=n2+n-1

因此所求数列的前n项的和为

（2）、分解转化法

对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。

【例9】求和S=1·（n2-1）+ 2·（n2-22）+3·（n2-32）+…+n（n2-n2）

解  S=n2（1+2+3+…+n）-（13+23+33+…+n3）

（3）、倒序相加法

适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。

例10、求和：

914400278765例10、解

∴ Sn=3n·2n-1

（4）、错位相减法

如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和．

例11、 求数列1，3x，5x2,…,(2n-1)xn-1前n项的和．

解  设Sn=1+3+5x2+…+(2n-1)xn-1．    ①

(2)x=0时，Sn=1．

(3)当x≠0且x≠1时，在式①两边同乘以x得 xSn=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn，②

①-②，得 (1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+…+2xn-1-(2n-1)xn．

(5)裂项法：

把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。

常见裂项方法：

457200495300例12、求和

注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。

在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。

二、常用数学思想方法

1．函数思想

运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。

【例13】  等差数列{an}的首项a1＞0，前n项的和为Sn，若Sl=Sk（l≠k）问n为何值时Sn最大？

457200113030

125730099060此函数以n为自变量的二次函数。∵a1＞0  Sl=Sk（l≠k），∴d＜0故此二次函数的图像开口向下

∵ f（l）=f（k）

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2．方程思想

【例14】设等比数列{an}前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q。

分析  本题考查等比数列的基础知识及推理能力。【更多 免费素材，微信lbgzkf1】

解 ∵依题意可知q≠1。

∵如果q=1，则S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。由此应推出a1=0与等比数列不符。

∵q≠1

整理得  q3（2q6-q3-1）=0  ∵q≠0

此题还可以作如下思考：

S6=S3+q3S3=（1+q3）S3。S9=S3+q3S6=S3（1+q3+q6），

∴由S3+S6=2S9可得2+q3=2（1+q3+q6），2q6+q3=0

3886200990603．换元思想

【例15】  已知a，b，c是不为1的正数，x，y，z∈R+，且

求证：a，b，c顺次成等比数列。

证明  依题意令ax=by=cz=k

∴x=1ogak，y=logbk，z=logck

∴b2=ac ∴a，b，c成等比数列（a，b，c均不为0）