数列求和方法总结

数列求和方法总结

数列的求和

一、教学目标：1．熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；

2．能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算；

3．熟记一些常用的数列的和的公式．

二、教学重点：特殊数列求和的方法．

三、教学过程：

（一）主要知识：

1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。

（1）等差数列的求和公式：

（2）等比数列的求和公式（切记：公比含字母时一定要讨论）

2．公式法：

3．错位相减法：比如

4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项公式： ；

5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。

6．合并求和法：如求的和。

7．倒序相加法：

8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等

（二）主要方法：

1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；

2．求和过程中注意分类讨论思想的运用；

3．转化思想的运用；

（三）例题分析：

例1．求和：①

②

③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n项和

思路分析：通过分组，直接用公式求和。

解：①

②

（1）当时，

（2）当

③

总结：运用等比数列前n项和公式时，要注意公比讨论。

2．错位相减法求和

例2．已知数列，求前n项和。

思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列对应项积，可用错位相减法求和。

解：

当

当

3.裂项相消法求和

例3.求和

思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.

解:

练习:求 答案:

4.倒序相加法求和【更多免费素 材，微信lbgzkf1】

例4求证：

思路分析：由可用倒序相加法求和。

证：令

则

等式成立

5．其它求和方法

还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。

例5．已知数列。

思路分析：，通过分组，对n分奇偶讨论求和。

解：，若

若

预备：已知成等差数列，n为正偶数，

又，试比较与3的大小。

解：

可求得，∵n为正偶数，

（四）巩固练习：

1．求下列数列的前项和：

（1）5，55，555，5555，…，，…； （2）；

（3）； （4）；

（5）； （6）．

解：（1）【更多免费素材，微信lbgzkf1】

．

（2）∵，

∴．

（3）∵

∴

．

（4），

当时，…，【更多免费素材 ，微信lbgzkf1】

当时，… ，

…，

两式相减得 …，

∴．

（5）∵，

∴ 原式……．

（6）设，

又∵，

∴ ，．

2．已知数列的通项，求其前项和．

解：奇数项组成以为首项，公差为12的等差数列，

偶数项组成以为首项，公比为4的等比数列；

当为奇数时，奇数项有项，偶数项有项，

∴，

当为偶数时，奇数项和偶数项分别有项，

∴，

所以，．

四、小结：1．掌握各种求和基本方法；2．利用等比数列求和公式时注意分讨论。