椭圆几何性质总结

高二数学椭圆几何性质总结

一.考试必“背”

1 椭圆的两种定义：

①平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长的点的轨迹，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|}；（时为线段，无轨迹）。其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。

②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P| ，0＜e＜1的常数。（为抛物线；为双曲线）

2 标准方程：

（1）焦点在x轴上，中心在原点：（a＞b＞0）；

焦点F1（－c，0）， F2（c，0）。其中（一个）

（2）焦点在y轴上，中心在原点：（a＞b＞0）；

焦点F1（0，－c），F2（0，c）。其中

注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；

②两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 （A＞0，B＞0，A≠B），当A＜B时，椭圆的焦点在x轴上，A＞B时焦点在y轴上。

3．参数方程 ：椭圆的参数方程

4.性质：对于焦点在x轴上，中心在原点：（a＞b＞0）有以下性质：

坐标系下的性质：

范围：|x|≤a，|y|≤b；

对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O（0，0）；

顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），长轴|A1A2|=2a，短轴|B1B2|=2b；（半长轴长，半短轴长）；

准线方程：；或

焦半径公式：P（x0，y0）为椭圆上任一点。|PF1|==a+ex0，|PF2|==a-ex0；|PF1|==a+ey0，|PF2|==a-ey0;

平面几何性质：

离心率：e=（焦距与长轴长之比）；越大越______，是_____。

焦准距；准线间距

二、焦点三角形

结论一：若、是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且，当点P位于___________时最大，cos=______________.

|PF1||PF2|的最大值为______________.

结论二：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为__________。

结论三：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形，则椭圆的离心率。

结论四：四心的轨迹

(1)、焦点三角形内心的轨迹及其方程．

(2)、焦点三角形重心的轨迹及其方程：

(3)、焦点三角形垂心的轨迹及其方程：

(4)、焦点三角形的外心的轨迹及其方程

（）．

三．中点弦问题

是椭圆的一条弦，中点M坐标为，则直线的斜率为 。

四．弦长问题.

(1)斜率为的直线与圆锥曲线相交于两点，，则所得的弦长

或 .

(2)当直线的斜率不存在时，可求出交点的坐标，直接运算；

(3)经过圆锥曲线的焦点的弦(也称为焦点弦)的长度问题，可利用圆锥曲线的定义，将其转化为利用 ，往往比利用弦长公式简单。

五．X轴正半轴到椭圆的最短距离问题：

已知椭圆，则点(m ，O)到椭圆的最短距离为：_________________.

六．过椭圆上点切线问题

若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.

习 题

1、已知椭圆方程，椭圆上点M到该椭圆一个焦点的距离是2，N是MF1的中点，O是椭圆的中心，那么线段ON的长是（ ）

（A）2（B）4（C）8（D）

2．点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为_______________.

3.（2009年上海卷理）已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=____________.

4.（2009北京文）椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则 ；的大小为 .

4．已知椭圆的左、右焦点分别为、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到轴的距离为（ ）

（A） （B）3 （C） （D）

5．椭圆的焦点、，点为其上的动点，当∠为钝角时,点横坐标的取值范围是_______________. 。

6.椭圆的中心在原点，焦点在X轴上，离心率√3/2，椭圆上各点到直线l的最短距离为1，则该椭圆方程是？直线l为x-y+＋＝0

7.设点P（x，y）在椭圆，（1）试求点P到直线的距离d的最大值和最小值。(2) 求x+2y的最小值

8．已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则

（A）1 （B） （C） （D）2

9.已知点P是椭圆方程x2/3+y2=1上的动点，M,N是直线L：y=x上的两个动点，且满足|MN|=t，则

（1）存在实数t使△MNP为正三角形的点仅有一个

（2）存在实数t使△MNP为正三角形的点仅有两个【更多免费素材 ，微信lbgzkf1】

（3）存在实数t使△MNP为正三角形的点仅有三个

（4）存在实数t使△MNP为正三角形的点仅有四个

（5）存在实数t使△MNP为正三角形的点有无数个

上述命题中正确的序号是________________.

10.在平面直角坐标系中，点与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.

(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；

(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由(探究（面积）)

11.（2007四川理）设、分别是椭圆的左、右焦点.

（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值;

（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为

坐标原点），求直线的斜率的取值范围.（最值、求取值范围）

12.（本小题共14分）

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，点（是其左顶点，点在椭圆上，且，．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若平行于的直线和椭圆交于两个不同点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．（最值）

13.（2009浙江文）（本题满分15分）已知抛物线：上一点到其焦点的距离为． （I）求与的值；

（II）设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点．若是的切线，求的最小值．

SJS14．（本题满分14分）

已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线交椭圆于不同的两点，．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若，且，求的值（点为坐标原点）；

（Ⅲ）若坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值．

FT15、（13分）在直角坐标系中，点到F1、F2的距离之和是4，点的轨迹与轴的负半轴交于点，不过点的直线：与轨迹交于不同的两点和．

（1）求轨迹的方程；

（2）当时，求与的关系，并证明直线过定点．（过定点）【更多免费素材，微信lbgzkf1】

16.（12分）已知点是椭圆上的一点，,是椭圆的两个焦点,且满足.

(Ⅰ)求椭圆的方程及离心率;

(Ⅱ)设点,是椭圆上的两点,直线,的倾斜角互补,试判断直线的斜率是否为定值?并说明理由.（定值）

17 .(2010年高考天津卷理科20) (本小题满分12分)

已知椭圆(＞＞0)的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)设直线与椭圆相交于不同的两点．已知点的坐标为(-，0)，点(0，)在线段的垂直平分线上，且=4．求的值．