高一函数知识点总结

高一函数知识点总结

一、函数的有关概念

1．函数的概念：设、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：→B为从集合到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈．其中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈ }叫做函数的值域． 【更多免费素材，微信lbgzkf1】

注意：

1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)【更多免费素材，微信 lbgzkf1】

(见课本21页相关例2)

2．值域 : 先考虑其定义域

(1)观察法

(2)配方法

(3)代换法

3. 函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .

(2) 画法

描点法：

图象变换法

常用变换方法有三种

平移变换

伸缩变换

对称变换

4．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

（2）无穷区间

（3）区间的数轴表示．

5．映射

一般地，设、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：B为从集合到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：（原象）B（象）”

对于映射f：→B来说，则应满足：

(1)集合中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

(3)不要求集合B中的每一个元素在集合中都有原象。

6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况．

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．【更多免费素材，微信lbgzkf1】

补充：复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈) 称为f、g的复合函数。

二．函数的性质

1.函数的单调性(局部性质)

（1）增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

注意：函数的单调性是函数的局部性质；

（2） 图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法【更多免 费素材，微信lbgzkf1】

() 定义法：

eq \o\ac(○,1) 任取x1，x2∈D，且x1<x2；

eq \o\ac(○,2) 作差f(x1)－f(x2)；

eq \o\ac(○,3) 变形（通常是因式分解和配方）；

eq \o\ac(○,4) 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

eq \o\ac(○,5) 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8．函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

eq \o\ac(○,1)首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

eq \o\ac(○,2)确定f(－x)与f(x)的关系；

eq \o\ac(○,3)作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

9、函数的解析表达式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：

凑配法

待定系数法

换元法

消参法

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

eq \o\ac(○,1) 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

eq \o\ac(○,2) 利用图象求函数的最大（小）值

eq \o\ac(○,3) 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

例题：

1.求下列函数的定义域：

⑴ ⑵

2.设函数的定义域为，则函数的定义域为_ _

3.若函数的定义域为，则函数的定义域是

4.函数 ，若，则=

5.求下列函数的值域：

⑴ ⑵

(3) (4)

6.已知函数，求函数，的解析式

7.已知函数满足，则= 。

8.设是R上的奇函数，且当时,,则当时=

在R上的解析式为

9.求下列函数的单调区间：

⑴ ⑵ ⑶

10.判断函数的单调性并证明你的结论．

11.设函数判断它的奇偶性并且求证：．

第三章 基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*．

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。

当是奇数时，，当是偶数时，

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

，

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

（1）·；

（2）；

（3）．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

2、指数函数的图象和性质

a>1

0<a<1

定义域 R

定义域 R

值域y＞0

值域y＞0

在R上单调递增

在R上单调递减

非奇非偶函数

非奇非偶函数

函数图象都过定点（0，1）

函数图象都过定点（0，1）

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：