函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结

一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。

求函数的定义域需要从这几个方面入手：

（1）分母不为零 【更多免费素材，微信lbgzkf1】

（2）偶次根式的被开方数非负。

（3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1

（5）y=tanx中x≠kπ+π/2；y=cotx中x≠kπ等等。

( 6 )中x

二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。

常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法

（4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法）

（7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法

（10）不等式法 （11）平方法等等

这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

三、典例解析

1、定义域问题

例1 求下列函数的定义域：

① ；② ；③

解：①∵x-2=0，即x=2时，分式无意义，

而时，分式有意义，∴这个函数的定义域是.

②∵3x+2<0，即x<-时，根式无意义，

而，即时，根式才有意义，

∴这个函数的定义域是{|}.

③∵当，即且时，根式和分式 同时有意义，

∴这个函数的定义域是{|且}

另解：要使函数有意义，必须：

例2 求下列函数的定义域：

① ②

③ ④

⑤

解：①要使函数有意义，必须： 即：

∴函数的定义域为： []

②要使函数有意义，必须：

∴定义域为：{ x|}

③要使函数有意义，必须：

∴函数的定义域为：

④要使函数有意义，必须：

∴定义域为：

⑤要使函数有意义，必须：

即 x< 或 x> ∴定义域为：

例3 若函数的定义域是R，求实数a 的取值范围

解：∵定义域是R,∴

∴

例4 若函数的定义域为[1，1]，求函数的定义域

解：要使函数有意义，必须：

∴函数的定义域为：

例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x－1)的定义域。

分析：法则f要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x－1上必也要求2x－1在 [－1，1]内取值，即－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x－1)中2x－1与f(x)中的x位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。

（注意：f(x)中的x与f(2x－1)中的x不是同一个x，即它们意义不同。）

解：∵f(x)的定义域为[－1，1]，

∴－1≤2x－1≤1，解之0≤x≤1，

∴f(2x－1)的定义域为[0，1]。

例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x2)的定义域。

答案：－1≤x2≤1 x2≤1－1≤x≤1

练习：设的定义域是[3，]，求函数的定义域

解：要使函数有意义，必须： 得：

∵ ≥0 ∴

∴ 函数的定域义为：

例7已知f(2x－1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域

因为2x－1是R上的单调递增函数，因此由2x－1， x∈[0,1]求得的值域[－1，1]是f(x)的定义域。

已知f(3x－1)的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域。）

（提示：定义域是自变量x的取值范围）

练习：

已知f(x2)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域

若的定义域是，则函数的定义域是（　　）

Ａ．ＢＣ．Ｄ．【更多免费素材，微信lbgzkf1 】

已知函数的定义域为Ａ，函数的定义域为Ｂ，则（　　）

Ａ．Ｂ．BＣ．Ｄ．

2、求值域问题【更多免费素材，微信lbgzkf1】

利用常见函数的值域来求（直接法）

一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；

反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；

二次函数的定义域为R，

当a>0时，值域为{}；当a<0时，值域为{}.

例1 求下列函数的值域

① y=3x+2(-1x1) ②

③ （记住图像）

解：①∵-1x1，∴-33x3，

∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]

②略

3933825255270③ 当x>0，∴=，

当x<0时，=－

∴值域是[2，+).（此法也称为配方法）

函数的图像为：

二次函数在区间上的值域(最值)：

例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：

①； ②；

③； ④；

解：∵，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.

①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，

4667250205740∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y-3 }.

②∵顶点横坐标2[3,4]，

当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；

∴在[3,4]上，=-2，=1；值域为[-2，1].

③∵顶点横坐标2 [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,

∴在[0,1]上，=-2，=1；值域为[-2，1].

④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6,

∴在[0,1]上，=-3，=6；值域为[-3，6].

注：对于二次函数,

⑴若定义域为R时，

①当a>0时，则当时，其最小值；

②当a<0时，则当时，其最大值.

⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].

①若[a,b],则是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，

再比较的大小决定函数的最大（小）值.

②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值.

注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；

②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.

练习：1、求函数y=3+√(2－3x)的值域

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，

　　 故3+√(2－3x)≥3。

　　 ∴函数的值域为　　.

2、求函数 的值域

解： 对称轴

例3 求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。

　　解：法一：（单调性法）设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x

在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，

所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。

　　小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。

练习：求函数y=3+√4-x　　的值域。(答案：｛y|y≥3｝)

法二：换元法(下题讲)

例4 求函数 的值域

解：（换元法）设，则

　 　点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。

练习：求函数y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝

例5 （选）求函数 的值域

解：（平方法）函数定义域为：

例6 （选不要求）求函数的值域

解：（三角换元法） 设

小结：（1）若题目中含有，则可设

（2）若题目中含有则可设，其中

（3）若题目中含有，则可设，其中

（4）若题目中含有，则可设，其中

（5）若题目中含有，则可设

其中

4046220187960

-1